複素数 $\alpha$ と $\beta$ が与えられたとき、$\alpha\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表す問題です。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。今回は(2)の問題を解きます。 $\alpha = -4 + 4i$, $\beta = -1 + \sqrt{3}i$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ と $\beta$ が与えられたとき、$\alpha\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表す問題です。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。今回は(2)の問題を解きます。

$\alpha = -4 + 4i$, $\beta = -1 + \sqrt{3}i$

2. 解き方の手順

(1) $\alpha$ と $\beta$ を極形式で表します。

複素数 $z = x + yi$ の極形式は $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表されます。ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ は絶対値、$\theta$ は偏角です。

$\alpha = -4 + 4i$ について：

$r_{\alpha} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

$\theta_{\alpha}$ について：

$\cos\theta_{\alpha} = \frac{-4}{4\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\theta_{\alpha} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$\theta_{\alpha} = \frac{3}{4}\pi$

$\alpha = 4\sqrt{2}\left(\cos\frac{3}{4}\pi + i\sin\frac{3}{4}\pi\right)$

$\beta = -1 + \sqrt{3}i$ について：

$r_{\beta} = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\theta_{\beta}$ について：

$\cos\theta_{\beta} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

$\sin\theta_{\beta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\theta_{\beta} = \frac{2}{3}\pi$

$\beta = 2\left(\cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi\right)$

(2) $\alpha\beta$ を計算します。

$\alpha\beta = r_{\alpha}r_{\beta}\left[\cos(\theta_{\alpha} + \theta_{\beta}) + i\sin(\theta_{\alpha} + \theta_{\beta})\right]$

$\alpha\beta = (4\sqrt{2})(2)\left[\cos\left(\frac{3}{4}\pi + \frac{2}{3}\pi\right) + i\sin\left(\frac{3}{4}\pi + \frac{2}{3}\pi\right)\right]$

$\frac{3}{4}\pi + \frac{2}{3}\pi = \frac{9}{12}\pi + \frac{8}{12}\pi = \frac{17}{12}\pi$

$\alpha\beta = 8\sqrt{2}\left(\cos\frac{17}{12}\pi + i\sin\frac{17}{12}\pi\right)$

(3) $\frac{\alpha}{\beta}$ を計算します。

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{r_{\alpha}}{r_{\beta}}\left[\cos(\theta_{\alpha} - \theta_{\beta}) + i\sin(\theta_{\alpha} - \theta_{\beta})\right]$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{4\sqrt{2}}{2}\left[\cos\left(\frac{3}{4}\pi - \frac{2}{3}\pi\right) + i\sin\left(\frac{3}{4}\pi - \frac{2}{3}\pi\right)\right]$

$\frac{3}{4}\pi - \frac{2}{3}\pi = \frac{9}{12}\pi - \frac{8}{12}\pi = \frac{1}{12}\pi$

$\frac{\alpha}{\beta} = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{1}{12}\pi + i\sin\frac{1}{12}\pi\right)$

3. 最終的な答え

$\alpha\beta = 8\sqrt{2}\left(\cos\frac{17}{12}\pi + i\sin\frac{17}{12}\pi\right)$

$\frac{\alpha}{\beta} = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{1}{12}\pi + i\sin\frac{1}{12}\pi\right)$