与えられた4つの式を因数分解する。 (1) $3x^2y + 6xy + 9xy^2$ (2) $a^2 + 10a + 25$ (3) $27x^2 - 12y^2$ (4) $2x^2 - 6x - 20$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する。

(1) $3x^2y + 6xy + 9xy^2$

(2) $a^2 + 10a + 25$

(3) $27x^2 - 12y^2$

(4) $2x^2 - 6x - 20$

2. 解き方の手順

(1) 式 $3x^2y + 6xy + 9xy^2$ から共通因数 $3xy$ をくくり出す。

$3x^2y + 6xy + 9xy^2 = 3xy(x + 2 + 3y)$

(2) 式 $a^2 + 10a + 25$ は完全平方式の形をしている。

$a^2 + 10a + 25 = (a + 5)^2$

(3) 式 $27x^2 - 12y^2$ から共通因数 $3$ をくくり出す。

$27x^2 - 12y^2 = 3(9x^2 - 4y^2)$

次に、$9x^2 - 4y^2$ を $(3x)^2 - (2y)^2$ と見て、差の平方の因数分解を行う。

$9x^2 - 4y^2 = (3x + 2y)(3x - 2y)$

したがって、

$27x^2 - 12y^2 = 3(3x + 2y)(3x - 2y)$

(4) 式 $2x^2 - 6x - 20$ から共通因数 $2$ をくくり出す。

$2x^2 - 6x - 20 = 2(x^2 - 3x - 10)$

次に、$x^2 - 3x - 10$ を因数分解する。

$x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$

したがって、

$2x^2 - 6x - 20 = 2(x - 5)(x + 2)$

3. 最終的な答え

(1) $3xy(x + 2 + 3y)$

(2) $(a + 5)^2$

(3) $3(3x + 2y)(3x - 2y)$

(4) $2(x - 5)(x + 2)$