実数 $x$ について、命題「$-2 \leq x \leq 3 \implies k-6 \leq x \leq k$」が真となるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ について、命題「$-2 \leq x \leq 3 \implies k-6 \leq x \leq k$」が真となるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

命題「$p \implies q$」が真であるためには、$p$ を満たす $x$ は必ず $q$ も満たさなければなりません。つまり、$p$ の範囲が $q$ の範囲に含まれている必要があります。

$p$ は $-2 \leq x \leq 3$ であり、$q$ は $k-6 \leq x \leq k$ です。

したがって、

$k-6 \leq -2$ かつ $3 \leq k$

が成り立てばよいことになります。

それぞれの不等式を解くと、

$k-6 \leq -2 \implies k \leq 4$

$3 \leq k \implies k \geq 3$

したがって、$k$ は $3 \leq k \leq 4$ を満たす必要があります。

3. 最終的な答え

$3 \leq k \leq 4$