$x^2 + xy - 2y^2 = (x+2y)(x-y)$

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1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する。

(1) $x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8$

(2) $2x^2 - xy - y^2 + 3y - 2$

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2. 解き方の手順

### (1) $x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8$

1. まず、$x$と$y$の2次式部分を因数分解する。

$x^2 + xy - 2y^2 = (x+2y)(x-y)$

2. 与式を $x$ について整理する。

$x^2 + (y+6)x - 2y^2 + 8$

3. たすき掛けを試みる。$(x+2y+a)(x-y+b)$ の形に因数分解できると仮定する。

$(x+2y+a)(x-y+b) = x^2 + xy - 2y^2 + (a+b)x + (2b-a)y + ab$

4. 係数を比較する。

$a+b = 6$

$2b-a = 0$

$ab = 8$

5. $2b - a = 0$ より $a = 2b$ を $a+b=6$ に代入すると、 $3b=6$ なので $b=2$。よって、$a = 4$。

$ab = 4*2 = 8$ となり、条件を満たす。

6. よって、因数分解の結果は $(x+2y+4)(x-y+2)$

### (2) $2x^2 - xy - y^2 + 3y - 2$

1. $x$について整理する。

$2x^2 - yx - (y^2 - 3y + 2)$

2. $y$の2次式を因数分解する。

$y^2 - 3y + 2 = (y-1)(y-2)$

3. 与式は $2x^2 - yx - (y-1)(y-2)$ となる。

4. たすき掛けを試みる。$(2x + ay + b)(x + cy + d)$ の形に因数分解できると仮定する。ただし、この場合、最終的に $2x + ay + b$ の形になるとは限らず、$2x$に$y$に関する式が掛けられているかもしれないが、一番シンプルなケースから試す。

$a$と$c$の符号の組み合わせを考慮し、様々なパターンを試行錯誤する。

5. $(2x + y - 1)(x - y + 2) = 2x^2 -2xy + 4x + xy - y^2 + 2y -x + y - 2 = 2x^2 -xy - y^2 + 3x + 3y - 2$

これは $3x$ の項があるので誤り。

6. $(2x + y - 2)(x - y + 1) = 2x^2 - 2xy + 2x + xy - y^2 + y - 2x + 2y - 2 = 2x^2 - xy - y^2 + 3y - 2$

これは正しい。

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3. 最終的な答え

(1) $(x+2y+4)(x-y+2)$

(2) $(2x+y-2)(x-y+1)$