展開公式を利用して、以下の式を計算する問題です。 (1) $(\sqrt{5}-1)^3$ (3) $(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^2$ (5) $x^4-3x^2-4$ (6) $a^2 - bc - ab + ca$

1. 問題の内容

展開公式を利用して、以下の式を計算する問題です。

(1) $(\sqrt{5}-1)^3$

(3) $(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^2$

(5) $x^4-3x^2-4$

(6) $a^2 - bc - ab + ca$

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{5}-1)^3$ の展開

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ の公式を利用します。

$a = \sqrt{5}$, $b = 1$ とすると、

$(\sqrt{5}-1)^3 = (\sqrt{5})^3 - 3(\sqrt{5})^2(1) + 3(\sqrt{5})(1)^2 - (1)^3$

$= 5\sqrt{5} - 3(5) + 3\sqrt{5} - 1$

$= 5\sqrt{5} - 15 + 3\sqrt{5} - 1$

$= 8\sqrt{5} - 16$

(3) $(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^2$ の展開

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を利用します。

$a = \sqrt{x}$, $b = \frac{1}{\sqrt{x}}$ とすると、

$(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{x})^2 + 2(\sqrt{x})(\frac{1}{\sqrt{x}}) + (\frac{1}{\sqrt{x}})^2$

$= x + 2 + \frac{1}{x}$

(5) $x^4 - 3x^2 - 4$の因数分解

$A = x^2$ とおくと $A^2 - 3A - 4$ となる。

$(A-4)(A+1)$

元の変数に戻すと、

$(x^2-4)(x^2+1) = (x-2)(x+2)(x^2+1)$

(6) $a^2 - bc - ab + ca$

$a^2 - bc - ab + ac = a^2 +ac-ab - bc = a(a+c) - b(a+c) = (a-b)(a+c)$

3. 最終的な答え

(1) $8\sqrt{5} - 16$

(3) $x + 2 + \frac{1}{x}$

(5) $(x-2)(x+2)(x^2+1)$

(6) $(a-b)(a+c)$