二つのサイコロを投げたとき、小さい方の出た目の数を$X$とする。ただし、二つのサイコロの出た目が等しいときは、その目を$X$とする。 (a) $X=2$となる確率$P(X=2)$を求める。 (b) $X$の期待値$E(X)$を求める。

1. 問題の内容

二つのサイコロを投げたとき、小さい方の出た目の数を$X$とする。ただし、二つのサイコロの出た目が等しいときは、その目を$X$とする。

(a) $X=2$となる確率$P(X=2)$を求める。

(b) $X$の期待値$E(X)$を求める。

2. 解き方の手順

(a) $P(X=2)$について考える。

二つのサイコロの出た目の組み合わせを$(a, b)$で表す。

$X=2$となるのは、$(2, 2)$, $(2, 3)$, $(2, 4)$, $(2, 5)$, $(2, 6)$, $(3, 2)$, $(4, 2)$, $(5, 2)$, $(6, 2)$の9通りである。

全事象は$6 \times 6 = 36$通りなので、$P(X=2) = \frac{9}{36}$である。

(b) $E(X)$を求める。

$X$は1から6の値を取りうるので、$X=k$となる確率を$P(X=k)$とすると、

$E(X) = \sum_{k=1}^6 k \cdot P(X=k)$で求められる。

$X=1$となるのは、$(1, 1)$, $(1, 2)$, $(1, 3)$, $(1, 4)$, $(1, 5)$, $(1, 6)$, $(2, 1)$, $(3, 1)$, $(4, 1)$, $(5, 1)$, $(6, 1)$の11通り。よって$P(X=1) = \frac{11}{36}$。

$X=2$となるのは、(a)より$P(X=2) = \frac{9}{36}$。

$X=3$となるのは、$(3, 3)$, $(3, 4)$, $(3, 5)$, $(3, 6)$, $(4, 3)$, $(5, 3)$, $(6, 3)$の7通り。よって$P(X=3) = \frac{7}{36}$。

$X=4$となるのは、$(4, 4)$, $(4, 5)$, $(4, 6)$, $(5, 4)$, $(6, 4)$の5通り。よって$P(X=4) = \frac{5}{36}$。

$X=5$となるのは、$(5, 5)$, $(5, 6)$, $(6, 5)$の3通り。よって$P(X=5) = \frac{3}{36}$。

$X=6$となるのは、$(6, 6)$の1通り。よって$P(X=6) = \frac{1}{36}$。

$E(X) = 1 \cdot \frac{11}{36} + 2 \cdot \frac{9}{36} + 3 \cdot \frac{7}{36} + 4 \cdot \frac{5}{36} + 5 \cdot \frac{3}{36} + 6 \cdot \frac{1}{36} = \frac{11 + 18 + 21 + 20 + 15 + 6}{36} = \frac{91}{36}$

3. 最終的な答え

(a) $P(X=2) = \frac{9}{36}$

(b) $E(X) = \frac{91}{36}$