3社クールノー寡占市場における、各社の産出量と市場価格、企業Aの利潤を求める問題です。市場の逆需要関数は $p = 5200 - 2Q$ で、Qは総産出量 $Q = q_A + q_B + q_C$ です。各社の総費用関数は $TC(q_i) = 400q_i$ で共通です。

## 解答

1. 問題の内容

3社クールノー寡占市場における、各社の産出量と市場価格、企業Aの利潤を求める問題です。市場の逆需要関数は $p = 5200 - 2Q$ で、Qは総産出量 $Q = q_A + q_B + q_C$ です。各社の総費用関数は $TC(q_i) = 400q_i$ で共通です。

2. 解き方の手順

まず、各企業の利潤関数を求め、利潤を最大化する条件（一階の条件）から各企業の最適反応関数を求めます。次に、クールノー・ナッシュ均衡では、各企業の産出量が互いの最適反応関数を満たすため、連立方程式を解いて均衡産出量を求めます。最後に、均衡産出量から市場価格を計算し、企業Aの利潤を計算します。

(1) 企業Aの利潤関数:

企業Aの利潤 $\pi_A$ は、収入 $p \cdot q_A$ から費用 $TC(q_A)$ を引いたものです。

$\pi_A = p \cdot q_A - TC(q_A) = (5200 - 2(q_A + q_B + q_C))q_A - 400q_A$

$\pi_A = 5200q_A - 2q_A^2 - 2q_Aq_B - 2q_Aq_C - 400q_A$

(2) 企業Aの最適反応関数:

利潤を最大化するために、$\pi_A$ を $q_A$ で微分して0とおきます。

$\frac{\partial \pi_A}{\partial q_A} = 5200 - 4q_A - 2q_B - 2q_C - 400 = 0$

$4q_A = 4800 - 2q_B - 2q_C$

$q_A = 1200 - \frac{1}{2}q_B - \frac{1}{2}q_C$

同様に企業B,Cの最適反応関数も求めます。総費用関数が同じであるため、企業の対称性から次のようになります。

$q_B = 1200 - \frac{1}{2}q_A - \frac{1}{2}q_C$

$q_C = 1200 - \frac{1}{2}q_A - \frac{1}{2}q_B$

(3) クールノー・ナッシュ均衡:

上記の3つの最適反応関数を連立方程式として解きます。

$q_A = 1200 - \frac{1}{2}q_B - \frac{1}{2}q_C$

$q_B = 1200 - \frac{1}{2}q_A - \frac{1}{2}q_C$

$q_C = 1200 - \frac{1}{2}q_A - \frac{1}{2}q_B$

これらの式は対称なので、$q_A = q_B = q_C = q$ となることが予想できます。仮定して代入すると、

$q = 1200 - \frac{1}{2}q - \frac{1}{2}q$

$q = 1200 - q$

$2q = 1200$

$q = 600$

したがって、$q_A = q_B = q_C = 600$ となります。

(4) 市場価格:

$Q = q_A + q_B + q_C = 600 + 600 + 600 = 1800$

$p = 5200 - 2Q = 5200 - 2(1800) = 5200 - 3600 = 1600$

(5) 企業Aの利潤:

$\pi_A = (p - 400)q_A = (1600 - 400) \times 600 = 1200 \times 600 = 720000$

3. 最終的な答え

* 企業Aの産出量: 600

* 企業Bの産出量: 600

* 企業Cの産出量: 600

* 市場の価格: 1600

* 企業Aの利得: 720000