実質金利 $r$ が与えられ、実質所得 $Y$ を得る消費者の2期間にわたる効用最大化を考えます。消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ のとき、設備投資関数が外生的な場合の45度線分析における財政支出乗数を分数で求めます。

1. 問題の内容

実質金利 $r$ が与えられ、実質所得 $Y$ を得る消費者の2期間にわたる効用最大化を考えます。消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ のとき、設備投資関数が外生的な場合の45度線分析における財政支出乗数を分数で求めます。

2. 解き方の手順

まず、2期間モデルにおける消費者の予算制約式は以下の通りです。

$c_1 + \frac{c_2}{1+r} = Y + \frac{Y}{1+r}$

この予算制約式の下で効用関数 $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ を最大化します。

ラグランジュ関数 $L$ を以下のように定義します。

$L = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2 + \lambda (Y + \frac{Y}{1+r} - c_1 - \frac{c_2}{1+r})$

一階条件は以下の通りです。

$\frac{\partial L}{\partial c_1} = \frac{0.7}{c_1} - \lambda = 0$

$\frac{\partial L}{\partial c_2} = \frac{0.3}{c_2} - \frac{\lambda}{1+r} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = Y + \frac{Y}{1+r} - c_1 - \frac{c_2}{1+r} = 0$

一階条件から $\lambda$ を消去します。

$\lambda = \frac{0.7}{c_1}$

$\frac{0.3}{c_2} = \frac{0.7}{(1+r)c_1}$

したがって、

$c_2 = \frac{0.3(1+r)c_1}{0.7} = \frac{3(1+r)c_1}{7}$

これを予算制約式に代入します。

$c_1 + \frac{3(1+r)c_1}{7(1+r)} = Y + \frac{Y}{1+r}$

$c_1 + \frac{3c_1}{7} = Y + \frac{Y}{1+r}$

$\frac{10c_1}{7} = Y(1 + \frac{1}{1+r})$

$c_1 = \frac{7}{10} Y (1 + \frac{1}{1+r})$

$c_1 = \frac{7}{10} Y (\frac{2+r}{1+r})$

総需要 $AD$ は、 $AD = c_1 + c_2$ です。

$c_2 = \frac{3}{7} (1+r) c_1 = \frac{3}{7} (1+r) \frac{7}{10} Y \frac{2+r}{1+r} = \frac{3}{10} Y \frac{2+r}{1+r}$

$AD = c_1 + c_2 = \frac{7}{10} Y \frac{2+r}{1+r} + \frac{3}{10} Y \frac{2+r}{1+r} = Y \frac{2+r}{1+r}$

財政支出を $G$ とすると、総需要は $AD = C + I + G$ となります。

ここで、 $I$ は外生的に与えられているとします。

このとき、

$AD = c_1 + c_2 + G = Y \frac{2+r}{1+r} + G$

$Y = Y \frac{2+r}{1+r} + G$

$\Delta Y = \frac{2+r}{1+r} \Delta Y + \Delta G$

$(1 - \frac{2+r}{1+r}) \Delta Y = \Delta G$

$(\frac{1+r-2-r}{1+r}) \Delta Y = \Delta G$

$\frac{-1}{1+r} \Delta Y = \Delta G$

ここで総需要を$AD=c_1+c_2$ではなく、単純な45度分析モデルを適用する。

$AD=C+I+G$, $C=c_1+c_2=0.7Y+0.3Y=Y$と考えると(2期間考慮する必要がない場合)、乗数は

$1/(1-1)=1/0=\infty$となる。ただし、消費関数から考えると以下のようになる。

$c_1 = \frac{0.7}{1+r} Y$, $c_2=\frac{0.3(1+r)}{1+r}Y=0.3Y$

$Y = c_1+c_2+G = 0.7Y+0.3Y+G = Y+G$

しかし、これも結果として乗数は$\infty$となる。

効用関数のパラメータを限界消費性向として考える。1期間モデルに置き換えて考える。

$U(c)=0.7ln(c)+0.3ln(Y-c)$.

$MU_c=0.7/c, MU_{Y-c}=0.3/(Y-c)$

予算制約式は $Y=c$

$Y=C+G$

$C = 0.7Y$

$Y = 0.7Y + G$

$\Delta Y = 0.7 \Delta Y + \Delta G$

$(1-0.7) \Delta Y = \Delta G$

$0.3 \Delta Y = \Delta G$

$\frac{\Delta Y}{\Delta G} = \frac{1}{0.3} = \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{3}$