ある大学の入学者について、他のa大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cで表す。 $n(A) = 65$, $n(B) = 40$, $n(A \cap B) = 14$, $n(C \cap A) = 11$, $n(B \cup C) = 55$, $n(C \cup A) = 78$, $n(A \cup B \cup C) = 99$ のとき、以下の問いに答えよ。 (1) c大学を受験した人は何人か。 (2) a大学、b大学、c大学のすべてを受験した人は何人か。 (3) a大学、b大学、c大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

1. 問題の内容

ある大学の入学者について、他のa大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cで表す。

$n(A) = 65$, $n(B) = 40$, $n(A \cap B) = 14$, $n(C \cap A) = 11$, $n(B \cup C) = 55$, $n(C \cup A) = 78$, $n(A \cup B \cup C) = 99$ のとき、以下の問いに答えよ。

(1) c大学を受験した人は何人か。

(2) a大学、b大学、c大学のすべてを受験した人は何人か。

(3) a大学、b大学、c大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

2. 解き方の手順

(1)

包除原理を用いる。

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 65 + 40 + n(C) - 14 - n(B \cap C) - 11 + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 80 + n(C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

$n(C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 19$

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$

$55 = 40 + n(C) - n(B \cap C)$

$n(C) - n(B \cap C) = 15$

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$

$78 = n(C) + 65 - 11$

$78 = n(C) + 54$

$n(C) = 24$

$n(C) - n(B \cap C) = 15$

$24 - n(B \cap C) = 15$

$n(B \cap C) = 9$

$n(C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 19$

$24 - 9 + n(A \cap B \cap C) = 19$

$15 + n(A \cap B \cap C) = 19$

$n(A \cap B \cap C) = 4$

(2)

$n(A \cap B \cap C) = 4$

(3)

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 65 + 40 + 24 - 14 - 9 - 11 + 4$

$99 = 99$

$n(A \text{のみ}) = n(A) - n(A \cap B) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 65 - 14 - 11 + 4 = 44$

$n(B \text{のみ}) = n(B) - n(A \cap B) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 40 - 14 - 9 + 4 = 21$

$n(C \text{のみ}) = n(C) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 24 - 11 - 9 + 4 = 8$

$n(A \text{のみ}) + n(B \text{のみ}) + n(C \text{のみ}) = 44 + 21 + 8 = 73$

3. 最終的な答え

(1) 24人

(2) 4人

(3) 73人