与えられた等式 $4x^2 - 3x + 2 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $4x^2 - 3x + 2 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開して整理します。

$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c)$

与えられた等式が恒等式であるためには、両辺の各次数の係数が等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$a = 4$

$-2a + b = -3$

$a - b + c = 2$

最初の式より $a=4$ がわかります。

これを2番目の式に代入すると、

$-2(4) + b = -3$

$-8 + b = -3$

$b = -3 + 8 = 5$

次に、$a=4$ と $b=5$ を3番目の式に代入すると、

$4 - 5 + c = 2$

$-1 + c = 2$

$c = 2 + 1 = 3$

したがって、$a = 4$, $b = 5$, $c = 3$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = 4, b = 5, c = 3$