実数 $\theta$ が $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たすとする。写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ を $xy$ 平面上の点を直線 $l: y = (\tan \theta) x$ に下ろした垂線の足に移す一次変換（直線 $l$ への正射影）とし、行列 $A$ を $f = f_A$ を満たす2次正方行列とする。ただし、$f_A$ は行列 $A$ による一次変換である。以下の問いに答えよ。 (1) $xy$ 平面上の2点 $B(1,0), C(0,1)$ を写像 $f$ で移した点をそれぞれ $B', C'$ とする。このとき、点 $B', C'$ の座標をそれぞれ求めよ。 (2) 行列 $A$ を求めよ。 (3) 行列 $A$ の固有値を求めよ。また、各固有値に属する固有ベクトルを1つ求めよ。 (4) 写像 $f$ は単射でないことを示せ。

1. 問題の内容

実数 $\theta$ が $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たすとする。写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ を $xy$ 平面上の点を直線 $l: y = (\tan \theta) x$ に下ろした垂線の足に移す一次変換（直線 $l$ への正射影）とし、行列 $A$ を $f = f_A$ を満たす2次正方行列とする。ただし、$f_A$ は行列 $A$ による一次変換である。以下の問いに答えよ。

(1) $xy$ 平面上の2点 $B(1,0), C(0,1)$ を写像 $f$ で移した点をそれぞれ $B', C'$ とする。このとき、点 $B', C'$ の座標をそれぞれ求めよ。

(2) 行列 $A$ を求めよ。

(3) 行列 $A$ の固有値を求めよ。また、各固有値に属する固有ベクトルを1つ求めよ。

(4) 写像 $f$ は単射でないことを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $B(1,0)$ から直線 $l: y = (\tan \theta) x$ への垂線の足 $B'$ を求める。

$l$ の方程式は $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ なので、$y = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}x$ と表せる。

$l$ に垂直な直線の傾きは $-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ であり、$B(1,0)$ を通るので、

$y = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}(x - 1)$ となる。

この直線と $l$ の交点が $B'$ である。

$\frac{\sin \theta}{\cos \theta}x = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}(x - 1)$

$\sin^2 \theta x = -\cos^2 \theta (x - 1)$

$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)x = \cos^2 \theta$

$x = \cos^2 \theta$

$y = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cos^2 \theta = \sin \theta \cos \theta$

よって、$B'(\cos^2 \theta, \sin \theta \cos \theta)$.

同様に、点 $C(0,1)$ から直線 $l$ への垂線の足 $C'$ を求める。

$l$ に垂直で $C(0,1)$ を通る直線は $y - 1 = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} x$

$y = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} x + 1$.

$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} x = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} x + 1$

$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} x = 1$

$x = \sin \theta \cos \theta$

$y = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta$

よって、$C'(\sin \theta \cos \theta, \sin^2 \theta)$.

(2) 行列 $A$ は、基本ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の像を列ベクトルとする行列である。

$B' = A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta \\ \sin \theta \cos \theta \end{pmatrix}$

$C' = A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin \theta \cos \theta \\ \sin^2 \theta \end{pmatrix}$

したがって、$A = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{pmatrix}$.

(3) 行列 $A$ の固有値を求める。

$\det(A - \lambda I) = (\cos^2 \theta - \lambda)(\sin^2 \theta - \lambda) - (\sin \theta \cos \theta)^2 = 0$

$\cos^2 \theta \sin^2 \theta - \lambda(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + \lambda^2 - \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 0$

$\lambda^2 - \lambda = 0$

$\lambda(\lambda - 1) = 0$

よって、固有値は $\lambda = 0, 1$.

$\lambda = 0$ のとき、$(A - 0I)v = 0$ を満たす固有ベクトル $v$ を求める。

$\begin{pmatrix} \cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\cos^2 \theta x + \sin \theta \cos \theta y = 0$

$\cos \theta (\cos \theta x + \sin \theta y) = 0$

$\cos \theta \neq 0$ なので、$\cos \theta x + \sin \theta y = 0$

$x = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} y = -\tan \theta y$.

$v = \begin{pmatrix} -\tan \theta \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix}$.

$\lambda = 1$ のとき、$(A - 1I)v = 0$ を満たす固有ベクトル $v$ を求める。

$\begin{pmatrix} \cos^2 \theta - 1 & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -\sin^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & -\cos^2 \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-\sin^2 \theta x + \sin \theta \cos \theta y = 0$

$\sin \theta (-\sin \theta x + \cos \theta y) = 0$

$\sin \theta \neq 0$ なので、$-\sin \theta x + \cos \theta y = 0$

$y = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} x = \tan \theta x$

$v = \begin{pmatrix} 1 \\ \tan \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}$.

(4) $f$ が単射でないことを示す。

写像 $f$ が単射でないとは、異なるベクトル $v_1, v_2$ が存在して $f(v_1) = f(v_2)$ となることである。

あるいは、$\ker f \neq \{0\}$ であることを示せばよい。

$\lambda = 0$ の固有ベクトル $v = \begin{pmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix}$ に対して、$Av = 0$ であるから、

$\begin{pmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix} \in \ker f$ であり、$\begin{pmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ なので、$\ker f \neq \{0\}$.

したがって、$f$ は単射ではない。

3. 最終的な答え

(1) $B'(\cos^2 \theta, \sin \theta \cos \theta)$, $C'(\sin \theta \cos \theta, \sin^2 \theta)$

(2) $A = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{pmatrix}$

(3) 固有値: $\lambda = 0, 1$.

固有ベクトル: $\lambda = 0$ に対して $\begin{pmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix}$, $\lambda = 1$ に対して $\begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}$

(4) 写像 $f$ は単射ではない。