5人の生徒の小テストの点数（5, 6, 3, 9, 7）が与えられ、これらの点数の平均値と分散を求めます。さらに、新たに5人の生徒の点数 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ を加えた10人のデータの平均値が、元の5人の平均値より1点高くなったとき、10人のデータの分散が元の5人の分散より小さくなったという条件から、選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

5人の生徒の小テストの点数（5, 6, 3, 9, 7）が与えられ、これらの点数の平均値と分散を求めます。さらに、新たに5人の生徒の点数 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ を加えた10人のデータの平均値が、元の5人の平均値より1点高くなったとき、10人のデータの分散が元の5人の分散より小さくなったという条件から、選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、元の5人の点数の平均値を計算します。

平均値 = (5 + 6 + 3 + 9 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6

よって、サ = 6

次に、元の5人の点数の分散を計算します。

分散 = $\frac{(5-6)^2 + (6-6)^2 + (3-6)^2 + (9-6)^2 + (7-6)^2}{5}$

= $\frac{(-1)^2 + 0^2 + (-3)^2 + 3^2 + 1^2}{5}$

= $\frac{1 + 0 + 9 + 9 + 1}{5}$

= $\frac{20}{5}$

= 4

よって、シ = 4

10人のデータの平均値は、元の5人の平均値より1点高いので、

$\bar{x} = 6 + 1 = 7$

10人のデータの合計点は $10 \times 7 = 70$ 点です。

元の5人の合計点は 30 点なので、新たに加えた5人の合計点は $70 - 30 = 40$ 点です。

つまり、$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 40$ です。

ここで選択肢を検討します。

0. 10人のデータの分散は0になることはないです。平均値が異なるのでありえない

1. $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 35$ ではありません。これは40なので誤りです。

2. $(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + (x_3 - \bar{x})^2 + (x_4 - \bar{x})^2 + (x_5 - \bar{x})^2 > 15$ を満たすかどうかは不明です。

3. 新たに加えた5人の点数に3点以下の生徒は1人もいない、という選択肢を見てみます。もし3点以下の生徒がいるとすると、平均点が7になるように調整するために、非常に高い点数の生徒が必要になります。もし全員が3点より大きいと仮定すると、5人の合計点は少なくとも 16 になります。合計点が40なので、3点以下の生徒がいたとしても平均点が7となる可能性はあります。

問題文には「分散はシより小さくなった」と書かれており、元の分散は4です。これは、10人のデータのばらつきが小さくなったことを意味します。

分散が小さくなるためには、新たに加えた5人の点数が平均値7に近いほど良いです。

選択肢2について検討します。

元の5人の分散が4であるため、$(5-6)^2 + (6-6)^2 + (3-6)^2 + (9-6)^2 + (7-6)^2 = 20$

新しく加わる5人の点数が全て8だとすると$(8-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2 = 5 < 15$

しかし、新しく加わる点数がバラバラであれば $(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + (x_3 - \bar{x})^2 + (x_4 - \bar{x})^2 + (x_5 - \bar{x})^2 > 15$ となることもあります。

例えば、$x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 4, x_5 = 24$ とすると、合計は40で平均は7になります。この時の二乗和は $9+9+9+9+289 = 325 > 15$となります。

したがって、選択肢2が最も適切です。

3. 最終的な答え

サ = 6, シ = 4, セ = 2