剛体上の点Pに力$F$が作用しており、点Pの位置ベクトルは$r$である。同じ作用線上の点P'に同じ力$F$が作用しているとき、点P'の位置ベクトルを$r'$とする。このとき、点Oまわりの力のモーメント$N = r \times F$と$r' \times F$が等しいことを示す。つまり、$r \times F = r' \times F$を証明する。

1. 問題の内容

剛体上の点Pに力$F$が作用しており、点Pの位置ベクトルは$r$である。同じ作用線上の点P'に同じ力$F$が作用しているとき、点P'の位置ベクトルを$r'$とする。このとき、点Oまわりの力のモーメント$N = r \times F$と$r' \times F$が等しいことを示す。つまり、$r \times F = r' \times F$を証明する。

2. 解き方の手順

* ベクトル$r'$は、ベクトル$r$にベクトル$a$を加えたものとして表せる。つまり、

$r' = r + a$

* ベクトル$a$は力$F$と平行であるため、あるスカラー$k$を用いて、

$a = kF$

と表せる。

* $r' \times F$を計算する。

$r' \times F = (r + a) \times F = r \times F + a \times F$

* $a \times F$を計算する。$a = kF$なので、

$a \times F = kF \times F$

* ベクトル$F$と$F$の外積は0になる。

$F \times F = 0$

* したがって、$r' \times F = r \times F$となる。

3. 最終的な答え

$r' = r + a$

$a = kF$

$r' \times F = (r + kF) \times F = r \times F + k(F \times F) = r \times F + 0 = r \times F$

よって、$r \times F = r' \times F$ が成り立つ。