大きさが等しく向きが反対な2つの力$\vec{F}$と$-\vec{F}$が剛体に働くとき、この偶力のモーメントの大きさが$Fl$になることを示す。ここで、$F=|\vec{F}|$、$\vec{r_1}$と$\vec{r_2}$はそれぞれ力$\vec{F}$と$-\vec{F}$の作用点を示す位置ベクトル、$\theta$は$\vec{r_1}-\vec{r_2}$の方向と$\vec{F}$の方向がなす角、$l$は2つの力の作用線の間隔である。

1. 問題の内容

大きさが等しく向きが反対な2つの力$\vec{F}$と$-\vec{F}$が剛体に働くとき、この偶力のモーメントの大きさが$Fl$になることを示す。ここで、$F=|\vec{F}|$、$\vec{r_1}$と$\vec{r_2}$はそれぞれ力$\vec{F}$と$-\vec{F}$の作用点を示す位置ベクトル、$\theta$は$\vec{r_1}-\vec{r_2}$の方向と$\vec{F}$の方向がなす角、$l$は2つの力の作用線の間隔である。

2. 解き方の手順

原点をOとし、$\vec{F}$と$-\vec{F}$が作用する点の位置ベクトルをそれぞれ$\vec{r_1}$、$\vec{r_2}$とする。

$\vec{F}$のモーメント$\vec{M_1}$は、

$\vec{M_1} = \vec{r_1} \times \vec{F}$

$-\vec{F}$のモーメント$\vec{M_2}$は、

$\vec{M_2} = \vec{r_2} \times (-\vec{F})$

したがって、偶力のモーメント$\vec{M}$は、

$\vec{M} = \vec{M_1} + \vec{M_2} = \vec{r_1} \times \vec{F} + \vec{r_2} \times (-\vec{F}) = \vec{r_1} \times \vec{F} - \vec{r_2} \times \vec{F} = (\vec{r_1} - \vec{r_2}) \times \vec{F}$

モーメントの大きさ$M$は、

$M = | \vec{M} | = | (\vec{r_1} - \vec{r_2}) \times \vec{F} | = |\vec{r_1} - \vec{r_2}| |\vec{F}| \sin{\theta}$

ここで、$|\vec{F}| = F$である。また、図より$l=|\vec{r_1} - \vec{r_2}| \sin{\theta}$なので、

$M = F l$

したがって、偶力のモーメントの大きさは$Fl$となる。

3. 最終的な答え

偶力のモーメントの大きさは$Fl$である。