$x^2 + px - 24$ (ここで $p$ は整数) を $(x + a)(x + b)$ の形に因数分解したい。$a$ と $b$ も整数とするとき、何通りの因数分解ができるか求める問題です。

1. 問題の内容

$x^2 + px - 24$ (ここで $p$ は整数) を $(x + a)(x + b)$ の形に因数分解したい。$a$ と $b$ も整数とするとき、何通りの因数分解ができるか求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた二次式 $x^2 + px - 24$ が $(x+a)(x+b)$ の形に因数分解できるとき、$a$ と $b$ は整数であり、

$$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$$

が成り立ちます。したがって、

$ab = -24$

です。つまり、$a$ と $b$ は $-24$ の約数の組です。$a$ と $b$ の順序を考慮すると、 $-24$ の約数の組は次のようになります。

$-24$ の約数は、$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$ です。

$ab = -24$ となる整数の組 $(a, b)$ は、

(1, -24), (-1, 24), (2, -12), (-2, 12), (3, -8), (-3, 8), (4, -6), (-4, 6), (6, -4), (-6, 4), (8, -3), (-8, 3), (12, -2), (-12, 2), (24, -1), (-24, 1)

の16通りです。

これらの組に対して、$p = a + b$ は整数となるので、$p$ が整数であるという条件は常に満たされます。

3. 最終的な答え

16通り