実数 $k$ を定数とする。2次方程式 $x^2 - 2kx - k + 2 = 0$ が、(9) 2つの異なる正の解を持つ場合と (10) 正の解と負の解を1つずつ持つ場合について、$k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $k$ を定数とする。2次方程式 $x^2 - 2kx - k + 2 = 0$ が、(9) 2つの異なる正の解を持つ場合と (10) 正の解と負の解を1つずつ持つ場合について、$k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2kx - k + 2 = 0$ とおく。

(9) 2つの異なる正の解を持つ場合

2つの異なる正の解を持つためには、以下の3つの条件を満たす必要がある。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸 $x = k > 0$

(iii) $f(0) > 0$

(i) 判別式 $D = (-2k)^2 - 4(1)(-k+2) > 0$

$4k^2 + 4k - 8 > 0$

$k^2 + k - 2 > 0$

$(k+2)(k-1) > 0$

よって、$k < -2$ または $k > 1$

(ii) 軸 $x = k > 0$

(iii) $f(0) = -k + 2 > 0$

$k < 2$

(i), (ii), (iii) を満たす $k$ の範囲は、$1 < k < 2$

(10) 正の解と負の解を1つずつ持つ場合

正の解と負の解を1つずつ持つためには、$f(0) < 0$ が必要十分条件となる。

$f(0) = -k + 2 < 0$

$k > 2$

3. 最終的な答え

(9) 2つの異なる正の解を持つ場合：$1 < k < 2$

(10) 正の解と負の解を1つずつ持つ場合：$k > 2$