与えられたブール関数 $f$ を簡略化する問題です。 $f = ABCD + A\overline{B}D + \overline{A}BD + \overline{A}\overline{C}D + B\overline{C}D$

1. 問題の内容

与えられたブール関数 $f$ を簡略化する問題です。

$f = ABCD + A\overline{B}D + \overline{A}BD + \overline{A}\overline{C}D + B\overline{C}D$

2. 解き方の手順

まず、$ABCD$ と $A\overline{B}D$ の項をまとめて、$AD$ でくくります。

$ABCD + A\overline{B}D = AD(BC + \overline{B})$

ここで、$C + \overline{C} = 1$ の法則を利用すると、$BC + \overline{B} = (C + \overline{B})C + \overline{B}\overline{C} = C + \overline{B} = 1 * C + \overline{B}$は簡単化出来ません。

しかし、

$BC + \overline{B} = B(C) + \overline{B}(1)$

$BC + \overline{B} = B(C) + \overline{B}(C + \overline{C}) = BC + \overline{B}C + \overline{B}\overline{C} = C(B+\overline{B}) + \overline{B}\overline{C} = C+\overline{B}\overline{C}$.

元の式に戻ります。

$f = ABCD + A\overline{B}D + \overline{A}BD + \overline{A}\overline{C}D + B\overline{C}D$

$ABCD + A\overline{B}D = AD(BC + \overline{B})$

$BC + \overline{B} = C + \overline{B}\overline{C}$

ここで、$ABCD + A\overline{B}D + \overline{A}BD + \overline{A}\overline{C}D + B\overline{C}D = (AB + A\overline{B} + \overline{A}B)CD + (\overline{A} + B)\overline{C}D = (A + B)CD + (\overline{A}+B)\overline{C}D$.

もしくは、$D$ でくくって

$f = (ABC + A\overline{B} + \overline{A}B + \overline{A}\overline{C} + B\overline{C})D$

次に、$ABC + A\overline{B}$ を、$A(BC+\overline{B})$と変形します。

$BC+\overline{B} = \overline{B} + C$

次に、$B\overline{C} + \overline{A}\overline{C}$ を$\overline{C}(B + \overline{A})$と変形します。

$f = (ABC + A\overline{B} + \overline{A}B + \overline{A}\overline{C} + B\overline{C})D = (A\overline{B} + A(B + \overline{A}) + B\overline{C} + B\overline{C}) D =$

$(ABC+ A\overline{B} + \overline{A}B + \overline{A}\overline{C} + B\overline{C}) D = D(A(BC + \overline{B}) + (\overline{A} + B)(\overline{C}))$.

$A(BC + \overline{B}) = A(\overline{B} + C)$

$(\overline{A} + B)\overline{C} = \overline{A}\overline{C} + B\overline{C}$

よって、

$f = (A(\overline{B} + C) + \overline{A}\overline{C} + B\overline{C})D = (A\overline{B} + AC + \overline{A}\overline{C} + B\overline{C})D$.

$AC+B\overline{C}$.

$AB + \overline{A}\overline{C} + B\overline{C}$

$f = (A\overline{B} + AC + \overline{A}\overline{C} + B\overline{C})D$

$A\overline{B} + \overline{A}\overline{C} + AC + B\overline{C}$

もう一度Dでくくりなおして整理

$f=D (A(\overline{B}+C) + (\overline{A}+B)\overline{C} )$

$f=D(A+B)(A+\overline{C}) + (B+C)$.

最終的に

$D (A\overline{B} + B\overline{C}+\overline{A}\overline{C}+AC)$

$D (A + B)$

3. 最終的な答え

$D(A\overline{B} + AC + \overline{A}\overline{C} + B\overline{C})$

または、$D(A+B)$