与えられた分数を部分分数分解する問題です。具体的には、 (1) $\frac{x+1}{(3x+2)(5x+3)}$ (2) $\frac{2x+5}{x^2-x-2}$ の2つの分数を部分分数分解します。

1. 問題の内容

与えられた分数を部分分数分解する問題です。具体的には、

(1) $\frac{x+1}{(3x+2)(5x+3)}$

(2) $\frac{2x+5}{x^2-x-2}$

の2つの分数を部分分数分解します。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x+1}{(3x+2)(5x+3)}$ の部分分数分解

$\frac{x+1}{(3x+2)(5x+3)} = \frac{A}{3x+2} + \frac{B}{5x+3}$ とおきます。

両辺に $(3x+2)(5x+3)$ を掛けると、

$x+1 = A(5x+3) + B(3x+2)$

$x+1 = 5Ax+3A + 3Bx+2B$

$x+1 = (5A+3B)x + (3A+2B)$

両辺の係数を比較すると、

$5A+3B = 1$

$3A+2B = 1$

この連立方程式を解きます。

$5A+3B = 1$ … (1)

$3A+2B = 1$ … (2)

(1)x2 - (2)x3 より、

$10A+6B - (9A+6B) = 2-3$

$A = -1$

これを(2)に代入すると、

$3(-1)+2B = 1$

$-3+2B = 1$

$2B = 4$

$B = 2$

したがって、

$\frac{x+1}{(3x+2)(5x+3)} = \frac{-1}{3x+2} + \frac{2}{5x+3}$

$\frac{x+1}{(3x+2)(5x+3)} = \frac{2}{5x+3} - \frac{1}{3x+2}$

(2) $\frac{2x+5}{x^2-x-2}$ の部分分数分解

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

したがって、

$\frac{2x+5}{x^2-x-2} = \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$ とおきます。

両辺に $(x-2)(x+1)$ を掛けると、

$2x+5 = A(x+1) + B(x-2)$

$2x+5 = Ax+A + Bx-2B$

$2x+5 = (A+B)x + (A-2B)$

両辺の係数を比較すると、

$A+B = 2$

$A-2B = 5$

この連立方程式を解きます。

$A+B = 2$ … (3)

$A-2B = 5$ … (4)

(3)-(4) より、

$3B = -3$

$B = -1$

これを(3)に代入すると、

$A+(-1) = 2$

$A = 3$

したがって、

$\frac{2x+5}{x^2-x-2} = \frac{3}{x-2} + \frac{-1}{x+1}$

$\frac{2x+5}{x^2-x-2} = \frac{3}{x-2} - \frac{1}{x+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x+1}{(3x+2)(5x+3)} = \frac{2}{5x+3} - \frac{1}{3x+2}$

(2) $\frac{2x+5}{x^2-x-2} = \frac{3}{x-2} - \frac{1}{x+1}$