複素数平面上の点 $z$ を、与えられた複素数で表される点に移動させる変換が、どのような移動を表すか答える問題です。具体的には、以下の2つの場合について考えます。 (1) $(1-i)z$ (2) $(-1+\sqrt{3}i)z$

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ を、与えられた複素数で表される点に移動させる変換が、どのような移動を表すか答える問題です。具体的には、以下の2つの場合について考えます。

(1) $(1-i)z$

(2) $(-1+\sqrt{3}i)z$

2. 解き方の手順

複素数 $z$ に複素数 $\alpha$ をかける変換は、点 $z$ を原点を中心として $\alpha$ の偏角だけ回転させ、さらに $|\alpha|$ 倍する変換に対応します。

(1) $\alpha = 1-i$ の場合

$1-i$ の絶対値 $|1-i|$ は $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ です。

$1-i$ の偏角は $\arg(1-i) = -\frac{\pi}{4}$ です。

したがって、$(1-i)z$ は点 $z$ を原点を中心に $-\frac{\pi}{4}$ だけ回転させ、$\sqrt{2}$ 倍した点です。

(2) $\alpha = -1+\sqrt{3}i$ の場合

$-1+\sqrt{3}i$ の絶対値 $|-1+\sqrt{3}i|$ は $\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$ です。

$-1+\sqrt{3}i$ の偏角は $\arg(-1+\sqrt{3}i) = \frac{2\pi}{3}$ です。

したがって、$(-1+\sqrt{3}i)z$ は点 $z$ を原点を中心に $\frac{2\pi}{3}$ だけ回転させ、2倍した点です。

3. 最終的な答え

(1) 原点を中心に $-\frac{\pi}{4}$ だけ回転させ、$\sqrt{2}$ 倍する。

(2) 原点を中心に $\frac{2\pi}{3}$ だけ回転させ、2倍する。