次の3つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}$ (2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

次の3つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}$

(2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}$

まず、$1+\sqrt{5}$ をひとまとめにして考え、分母の有理化を行います。分母と分子に $1+\sqrt{5}+\sqrt{6}$ を掛けます。

$\frac{1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}} = \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5}-\sqrt{6})(1+\sqrt{5}+\sqrt{6})}$

分母は $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ の形を利用して計算します。$A = 1+\sqrt{5}$、$B = \sqrt{6}$ と考えると、

$(1+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 - 6 = 2\sqrt{5}$

よって、

$\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

さらに分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{(1+\sqrt{5}+\sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}+5+\sqrt{30}}{10}$

(2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

分子と分母に $(1+\sqrt{3})-\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})((1+\sqrt{3})-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})((1+\sqrt{3})-\sqrt{2})}$

分母は $(1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2 = 2 + 2\sqrt{3} = 2(1+\sqrt{3})$

分子は $(1+\sqrt{3}-\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1 + \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + 2 + \sqrt{3} + 3 - \sqrt{6} = 6+2\sqrt{3}-2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$

$\frac{6+2\sqrt{3}-2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}}{2+2\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{1+\sqrt{3}}$

分子と分母に $1 - \sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6}-3\sqrt{3}-3+\sqrt{6}+\sqrt{18}}{1-3}$

$= \frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{-2} = \frac{-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

分母と分子に $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-5} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$

分母と分子に $\sqrt{6}$ を掛けます。

$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}+\sqrt{30}}{12} = \frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{30}}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5}+5+\sqrt{30}}{10}$

(2) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(3) $\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{30}}{12}$