$\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ なので、絶対値は $$ \lvert \alpha \rvert = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3 $$
2025/5/21
## 問題の回答
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1. 問題の内容
写真に写っている問題のうち、以下の2つを解きます。
* **7.** , のとき、次の値を求めよ。
1. $\lvert \alpha \rvert$
2. $\lvert \alpha \beta \rvert$
3. $\lvert \frac{1}{\alpha\beta} \rvert$
4. $\lvert \frac{\alpha^2}{\beta^3} \rvert$
* **10.** 次の式を計算せよ。
1. $(1 + i)^{12}$
2. $(-\sqrt{3} + i)^{-4}$
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2. 解き方の手順
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7.
1. $\lvert \alpha \rvert$ の計算:
なので、絶対値は
\lvert \alpha \rvert = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3
2. $\lvert \alpha \beta \rvert$ の計算:
, なので、まず を計算する。
\lvert \beta \rvert = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
なので、
\lvert \alpha \beta \rvert = 3 \times 5 = 15
3. $\lvert \frac{1}{\alpha\beta} \rvert$ の計算:
なので、
\lvert \frac{1}{\alpha\beta} \rvert = \frac{1}{15}
4. $\lvert \frac{\alpha^2}{\beta^3} \rvert$ の計算:
なので、
\lvert \frac{\alpha^2}{\beta^3} \rvert = \frac{3^2}{5^3} = \frac{9}{125}
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1
0.
1. $(1 + i)^{12}$ の計算:
と極形式で表せる。
ド・モアブルの定理より、
(1 + i)^{12} = (\sqrt{2})^{12} (\cos{\frac{12\pi}{4}} + i \sin{\frac{12\pi}{4}}) = 2^6 (\cos{3\pi} + i \sin{3\pi}) = 64(-1 + 0i) = -64
2. $(-\sqrt{3} + i)^{-4}$ の計算:
と極形式で表せる。
ド・モアブルの定理より、
(-\sqrt{3} + i)^{-4} = 2^{-4} (\cos{\frac{-20\pi}{6}} + i \sin{\frac{-20\pi}{6}}) = \frac{1}{16}(\cos{\frac{-10\pi}{3}} + i \sin{\frac{-10\pi}{3}}) = \frac{1}{16}(\cos{\frac{2\pi}{3}} + i \sin{\frac{2\pi}{3}}) = \frac{1}{16}(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{32} + i\frac{\sqrt{3}}{32}
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3. 最終的な答え
7.
1. $\lvert \alpha \rvert = 3$
2. $\lvert \alpha \beta \rvert = 15$
3. $\lvert \frac{1}{\alpha\beta} \rvert = \frac{1}{15}$
4. $\lvert \frac{\alpha^2}{\beta^3} \rvert = \frac{9}{125}$
8.