与えられた数列 $(\sqrt{2}+1) + 1 + (\sqrt{2}-1) + \dots$ の和を求める問題です。この数列が等比数列であると仮定して、無限等比級数の和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列 $(\sqrt{2}+1) + 1 + (\sqrt{2}-1) + \dots$ の和を求める問題です。この数列が等比数列であると仮定して、無限等比級数の和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の最初の3項から公比を計算します。

第1項は $\sqrt{2}+1$、第2項は1、第3項は $\sqrt{2}-1$ です。

公比 $r$ は、隣り合う項の比で求められます。

$r = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$

$r = \frac{\sqrt{2}-1}{1} = \sqrt{2}-1$

2つの方法で求めた$r$が一致するので、この数列は公比$r = \sqrt{2} - 1$ の等比数列です。

また、$|r| = |\sqrt{2} - 1| < 1$ なので、無限等比級数の和の公式が使えます。

無限等比級数の和 $S$ は、$S = \frac{a}{1-r}$ で与えられます。

ここで、$a$ は初項であり、$r$ は公比です。

この場合、$a = \sqrt{2}+1$、$r = \sqrt{2}-1$ なので、

$S = \frac{\sqrt{2}+1}{1 - (\sqrt{2}-1)}$

$S = \frac{\sqrt{2}+1}{2-\sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分母と分子に $2+\sqrt{2}$ を掛けます。

$S = \frac{(\sqrt{2}+1)(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}$

$S = \frac{2\sqrt{2}+2+2+\sqrt{2}}{4-2}$

$S = \frac{3\sqrt{2}+4}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2}+4}{2}$