数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は (1) の数列 $2, 2, 3, 6, 12, 22, \dots$ について考えます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は (1) の数列 $2, 2, 3, 6, 12, 22, \dots$ について考えます。

2. 解き方の手順

階差数列を求めることを考えます。

与えられた数列を $a_n$ とします。

$a_1 = 2, a_2 = 2, a_3 = 3, a_4 = 6, a_5 = 12, a_6 = 22, \dots$

階差数列 $b_n = a_{n+1} - a_n$ を求めます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 2 = 0$

$b_2 = a_3 - a_2 = 3 - 2 = 1$

$b_3 = a_4 - a_3 = 6 - 3 = 3$

$b_4 = a_5 - a_4 = 12 - 6 = 6$

$b_5 = a_6 - a_5 = 22 - 12 = 10$

したがって、階差数列 $\{b_n\}$ は $0, 1, 3, 6, 10, \dots$ となります。

さらに階差数列 $\{b_n\}$ の階差数列 $c_n = b_{n+1} - b_n$ を求めます。

$c_1 = b_2 - b_1 = 1 - 0 = 1$

$c_2 = b_3 - b_2 = 3 - 1 = 2$

$c_3 = b_4 - b_3 = 6 - 3 = 3$

$c_4 = b_5 - b_4 = 10 - 6 = 4$

したがって、数列 $\{c_n\}$ は $1, 2, 3, 4, \dots$ となり、これは等差数列です。

数列 $\{c_n\}$ の一般項は $c_n = n$ と表せます。

数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めます。

$n \ge 2$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k = 0 + \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$b_1 = 0$ より、$b_n = \frac{n(n-1)}{2}$ は $n=1$ のときも成立します。

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k(k-1)}{2} = 2 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - k)$

$= 2 + \frac{1}{2} \left( \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{(n-1)n}{2} \right)$

$= 2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{(n-1)n(2n-1) - 3(n-1)n}{6}$

$= 2 + \frac{(n-1)n(2n-1-3)}{12} = 2 + \frac{(n-1)n(2n-4)}{12}$

$= 2 + \frac{2(n-1)n(n-2)}{12} = 2 + \frac{(n-2)(n-1)n}{6}$

$a_n = 2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

$n=1$ のとき $a_1 = 2 + \frac{1(0)(-1)}{6} = 2$

$n=2$ のとき $a_2 = 2 + \frac{2(1)(0)}{6} = 2$

したがって、$a_n = 2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ は $n=1, 2$ でも成立します。

3. 最終的な答え

$a_n = 2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$