$a, b$ は実数である。3次方程式 $x^3 + x^2 + ax + b = 0$ が $1+i$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求める。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数である。3次方程式 $x^3 + x^2 + ax + b = 0$ が $1+i$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $1+i$ が解であるとき、係数が実数であるため、複素共役な $1-i$ も解である。

(2) 3次方程式の解を $\alpha, 1+i, 1-i$ とする。解と係数の関係より、

$\alpha + (1+i) + (1-i) = -1$

$\alpha + 2 = -1$

$\alpha = -3$

したがって、他の解は $-3$ である。

(3) 解と係数の関係より、

$\alpha(1+i) + \alpha(1-i) + (1+i)(1-i) = a$

$-3(1+i) -3(1-i) + (1 - i^2) = a$

$-3 - 3i - 3 + 3i + 1 - (-1) = a$

$-6 + 2 = a$

$a = -4$

(4) 解と係数の関係より、

$\alpha(1+i)(1-i) = -b$

$-3(1-i^2) = -b$

$-3(1-(-1)) = -b$

$-3(2) = -b$

$-6 = -b$

$b = 6$

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = 6$

他の解は $-3$