複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられています。以下の値を求める必要があります。 (1) $|\alpha|^4$ (2) $|\alpha \beta|^2$ (3) $\left| \frac{1}{\alpha \beta} \right|$ (4) $\left| \frac{\beta^2}{\alpha^3} \right|$

## 問題7

1. **問題の内容**

複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられています。以下の値を求める必要があります。

(1) $|\alpha|^4$

(2) $|\alpha \beta|^2$

(3) $\left| \frac{1}{\alpha \beta} \right|$

(4) $\left| \frac{\beta^2}{\alpha^3} \right|$

2. **解き方の手順**

(1) $|\alpha|^4$ を求める。

まず、$\alpha$ の絶対値を計算します。

$$|\alpha| = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$$

したがって、

$$|\alpha|^4 = 3^4 = 81$$

(2) $|\alpha \beta|^2$ を求める。

まず、$\beta$ の絶対値を計算します。

$$|\beta| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

絶対値の積の性質 $|\alpha \beta| = |\alpha| |\beta|$ を利用すると、

$$|\alpha \beta| = |\alpha| |\beta| = 3 \cdot 5 = 15$$

したがって、

$$|\alpha \beta|^2 = 15^2 = 225$$

(3) $\left| \frac{1}{\alpha \beta} \right|$ を求める。

絶対値の商の性質 $\left| \frac{1}{\alpha \beta} \right| = \frac{1}{|\alpha \beta|}$ を利用すると、

$$\left| \frac{1}{\alpha \beta} \right| = \frac{1}{|\alpha \beta|} = \frac{1}{15}$$

(4) $\left| \frac{\beta^2}{\alpha^3} \right|$ を求める。

絶対値の商の性質 $\left| \frac{\beta^2}{\alpha^3} \right| = \frac{|\beta^2|}{|\alpha^3|}$ を利用すると、

$$\left| \frac{\beta^2}{\alpha^3} \right| = \frac{|\beta|^2}{|\alpha|^3} = \frac{5^2}{3^3} = \frac{25}{27}$$

3. **最終的な答え**

(1) $|\alpha|^4 = 81$

(2) $|\alpha \beta|^2 = 225$

(3) $\left| \frac{1}{\alpha \beta} \right| = \frac{1}{15}$

(4) $\left| \frac{\beta^2}{\alpha^3} \right| = \frac{25}{27}$