整数 $a, b, c$ が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすとき、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは偶数であることを証明します。

1. 問題の内容

整数 $a, b, c$ が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすとき、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは偶数であることを証明します。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。つまり、$a, b, c$ のすべてが奇数であると仮定して矛盾を導きます。

奇数の二乗は奇数であるため、$a^2, b^2, c^2$ はすべて奇数です。

ある整数 $m, n, l$ を用いて、$a^2 = 2m+1, b^2 = 2n+1, c^2 = 2l+1$ と表すことができます。

$a^2 + b^2 = c^2$ に代入すると、

$2m + 1 + 2n + 1 = 2l + 1$

$2m + 2n + 2 = 2l + 1$

$2(m + n + 1) = 2l + 1$

左辺は偶数、右辺は奇数となり、矛盾します。

したがって、$a, b, c$ のすべてが奇数であるという仮定は誤りであり、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは偶数です。

3. 最終的な答え

整数 $a, b, c$ が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすとき、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは偶数である。