2022以下の自然数のうち、4で割ると3余り、かつ11で割ると5余る数は何個あるかを求める問題です。

1. 問題の内容

2022以下の自然数のうち、4で割ると3余り、かつ11で割ると5余る数は何個あるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

求める自然数を$x$とすると、

$x$は整数$k, n$を用いて、以下の2つの式で表すことができます。

$x = 4k + 3$

$x = 11n + 5$

この2つの式から、$4k + 3 = 11n + 5$ という関係式を得ます。

これを変形すると、$4k = 11n + 2$ となります。

さらに、$4k - 11n = 2$ という不定方程式が得られます。

まず、特殊解を求めます。

$4 \cdot 3 - 11 \cdot 1 = 1$ であるから、

$4 \cdot 6 - 11 \cdot 2 = 2$ となります。

したがって、$k=6, n=2$ が特殊解の一つです。

次に一般解を求めます。

$4k - 11n = 2$

$4 \cdot 6 - 11 \cdot 2 = 2$

辺々引くと、$4(k-6) - 11(n-2) = 0$

$4(k-6) = 11(n-2)$

4と11は互いに素なので、$k-6 = 11t$, $n-2 = 4t$ ( $t$は整数) と書けます。

したがって、$k = 11t + 6$, $n = 4t + 2$ となります。

$x = 4k + 3 = 4(11t + 6) + 3 = 44t + 24 + 3 = 44t + 27$

$x = 11n + 5 = 11(4t + 2) + 5 = 44t + 22 + 5 = 44t + 27$

したがって、$x = 44t + 27$ と表せます。

$x$が2022以下の自然数なので、$44t + 27 \le 2022$ となります。

$44t \le 1995$

$t \le \frac{1995}{44} \approx 45.34$

$t$は整数なので、$t \le 45$

$t$は0以上の整数なので、$0 \le t \le 45$

したがって、$t$は0から45までの46個の整数値をとり得ます。

3. 最終的な答え

46個