$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、「$1+\sqrt{2}$は無理数である」という命題を背理法で証明する。空欄（1）～（6）に当てはまる選択肢I～IVを正しい順に並べる問題。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、「$1+\sqrt{2}$は無理数である」という命題を背理法で証明する。空欄（1）～（6）に当てはまる選択肢I～IVを正しい順に並べる問題。

2. 解き方の手順

背理法を用いるので、$1+\sqrt{2}$が無理数でない、つまり有理数であると仮定する（1）。したがって、$1+\sqrt{2}$は有理数である（2）。これが最初の仮定。

問題文中の【（3）～（6）に入る選択肢】を見ると、まずIVで「$1+\sqrt{2}=r$ とおくと」とあるので、次にくるのはIVである。（3）

$1+\sqrt{2}=r$ より、$\sqrt{2}=r-1$ (I)。したがって、次にくるのはIである。（4）

ここで、「この等式は$\sqrt{2}$が無理数であることに矛盾する（II）」とあるので、次にくるのはIIである。（5）

さらに、「$r$が有理数ならば、$r-1$も有理数であるから（III）」とあるので、最後にくるのはIIIである。（6）

したがって、正しい順序はI, IV, I, II, IIIとなる。

3. 最終的な答え

ア．I→IV→I→II→III