1から100までの整数について、以下の2つの条件を満たす整数の個数を求める。 (1) 2, 3, 7の少なくとも1つで割り切れる数 (2) 2では割り切れるが、3でも7でも割り切れない数

1. 問題の内容

1から100までの整数について、以下の2つの条件を満たす整数の個数を求める。

(1) 2, 3, 7の少なくとも1つで割り切れる数

(2) 2では割り切れるが、3でも7でも割り切れない数

2. 解き方の手順

(1) 2, 3, 7の少なくとも1つで割り切れる数

* 2で割り切れる数: $A$

* 3で割り切れる数: $B$

* 7で割り切れる数: $C$

求めるのは$|A \cup B \cup C|$。

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

$|A| = \lfloor\frac{100}{2}\rfloor = 50$

$|B| = \lfloor\frac{100}{3}\rfloor = 33$

$|C| = \lfloor\frac{100}{7}\rfloor = 14$

$|A \cap B| = \lfloor\frac{100}{6}\rfloor = 16$

$|A \cap C| = \lfloor\frac{100}{14}\rfloor = 7$

$|B \cap C| = \lfloor\frac{100}{21}\rfloor = 4$

$|A \cap B \cap C| = \lfloor\frac{100}{42}\rfloor = 2$

$|A \cup B \cup C| = 50 + 33 + 14 - 16 - 7 - 4 + 2 = 72$

(2) 2では割り切れるが、3でも7でも割り切れない数

* 2で割り切れる数: $A$

* 3で割り切れる数: $B$

* 7で割り切れる数: $C$

求めるのは $|A \cap B^c \cap C^c| = |A| - |A \cap (B \cup C)| = |A| - |(A \cap B) \cup (A \cap C)|$

$|A| = 50$

$|(A \cap B) \cup (A \cap C)| = |A \cap B| + |A \cap C| - |A \cap B \cap C| = 16 + 7 - 2 = 21$

$|A \cap B^c \cap C^c| = 50 - 21 = 29$

3. 最終的な答え

(1) 72個

(2) 29個