正の整数 $n$ が与えられたとき、$n$, 175, 250 の最大公約数が 25 であり、最小公倍数が 3500 であるような $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ が与えられたとき、$n$, 175, 250 の最大公約数が 25 であり、最小公倍数が 3500 であるような $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、175 と 250 を素因数分解します。

$175 = 5^2 \times 7$

$250 = 2 \times 5^3$

与えられた条件から、最大公約数は 25 であるため、

$25 = 5^2$

最小公倍数は 3500 であるため、

$3500 = 2^2 \times 5^3 \times 7$

$n$ の素因数分解を $n = 2^a \times 5^b \times 7^c$ とします。

$n$, 175, 250 の最大公約数が 25 であることから、$n$ は $5^2$ を素因数に持ち、他の素因数は $5^2$ より大きくならないことがわかります。すなわち、

$\min(a, 1, 1) = 0$

$\min(b, 2, 3) = 2$

$\min(c, 1, 0) = 0$

$n$, 175, 250 の最小公倍数が 3500 であることから、$n$ は素因数 2, 5, 7 の指数について以下の条件を満たします。

$\max(a, 0, 1) = 2$

$\max(b, 2, 3) = 3$

$\max(c, 1, 0) = 1$

これらの条件をまとめると、

$a=2$

$b=2$

$c=1$ または $c=0$

よって、$n$ は $n = 2^2 \times 5^2 \times 7^c$ と表せます。

$c=0$ の場合、$n = 2^2 \times 5^2 = 4 \times 25 = 100$

$c=1$ の場合、$n = 2^2 \times 5^2 \times 7 = 4 \times 25 \times 7 = 700$

これらの $n$ について、最大公約数と最小公倍数が与えられた条件を満たすか確認します。

$n=100$ の場合：

$100 = 2^2 \times 5^2$

最大公約数：$\gcd(100, 175, 250) = \gcd(2^2 \times 5^2, 5^2 \times 7, 2 \times 5^3) = 5^2 = 25$

最小公倍数：$\text{lcm}(100, 175, 250) = \text{lcm}(2^2 \times 5^2, 5^2 \times 7, 2 \times 5^3) = 2^2 \times 5^3 \times 7 = 4 \times 125 \times 7 = 3500$

条件を満たします。

$n=700$ の場合：

$700 = 2^2 \times 5^2 \times 7$

最大公約数：$\gcd(700, 175, 250) = \gcd(2^2 \times 5^2 \times 7, 5^2 \times 7, 2 \times 5^3) = 5^2 = 25$

最小公倍数：$\text{lcm}(700, 175, 250) = \text{lcm}(2^2 \times 5^2 \times 7, 5^2 \times 7, 2 \times 5^3) = 2^2 \times 5^3 \times 7 = 4 \times 125 \times 7 = 3500$

条件を満たします。

3. 最終的な答え

$n = 100, 700$