7で割ると2余り、9で割ると7余る自然数 $n$ を、63で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

7で割ると2余り、9で割ると7余る自然数 $n$ を、63で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、問題文の条件を数式で表します。

$n = 7k + 2$ (kは整数)

$n = 9l + 7$ (lは整数)

上記の2式から、$n$ を求めます。

$7k + 2 = 9l + 7$

$7k = 9l + 5$

$k = \frac{9l + 5}{7}$

$k$ が整数になるような $l$ を探します。

$l = 1$ のとき、$k = \frac{9+5}{7} = \frac{14}{7} = 2$

よって、$l = 1$ は条件を満たします。

$l = 1$ のとき、$n = 9(1) + 7 = 16$

$n$ は、7で割ると2余り、9で割ると7余る数なので、

$n \equiv 2 \pmod{7}$

$n \equiv 7 \pmod{9}$

$n = 16$ は上記を満たします。

また、$7$ と $9$ の最小公倍数は $63$ なので、$n = 16 + 63m$ （$m$ は整数）と表すことができます。

したがって、求める余りは $16$ です。

$63$ で割った余りを求めるので、$n = 63m + 16$ と表すことができます。

3. 最終的な答え

16