次の2つの不定方程式の整数解を全て求める問題です。 (1) $11x + 8y = 1$ (2) $56x - 23y = 2$

1. 問題の内容

次の2つの不定方程式の整数解を全て求める問題です。

(1) $11x + 8y = 1$

(2) $56x - 23y = 2$

2. 解き方の手順

(1) $11x + 8y = 1$

まず、$11x + 8y = 1$ の整数解を1つ見つけます。$x=1$、$y=-1$ は解の一つです。

よって、$11(1) + 8(-1) = 1$ が成り立ちます。

元の式 $11x + 8y = 1$ からこの式を引き算すると、

$11x + 8y - (11(1) + 8(-1)) = 1 - 1$

$11(x-1) + 8(y+1) = 0$

$11(x-1) = -8(y+1)$

11と8は互いに素なので、$x-1$ は8の倍数である必要があります。そこで、$x-1 = 8k$ (kは整数)とおくと、$x = 8k + 1$ となります。

これを $11(x-1) = -8(y+1)$ に代入すると、

$11(8k) = -8(y+1)$

$11k = -(y+1)$

$y+1 = -11k$

$y = -11k - 1$

したがって、整数解は $x = 8k + 1$, $y = -11k - 1$ (kは整数)となります。

(2) $56x - 23y = 2$

まず、$56x - 23y = 1$の整数解を一つ見つけます。

$56 = 23 \times 2 + 10$

$23 = 10 \times 2 + 3$

$10 = 3 \times 3 + 1$

$1 = 10 - 3 \times 3$

$1 = 10 - (23 - 10 \times 2) \times 3$

$1 = 10 - 3 \times 23 + 6 \times 10$

$1 = 7 \times 10 - 3 \times 23$

$1 = 7 \times (56 - 23 \times 2) - 3 \times 23$

$1 = 7 \times 56 - 14 \times 23 - 3 \times 23$

$1 = 7 \times 56 - 17 \times 23$

よって、$56(7) - 23(17) = 1$

したがって、$56(14) - 23(34) = 2$

$56x - 23y = 2$ からこの式を引き算すると、

$56(x-14) - 23(y-34) = 0$

$56(x-14) = 23(y-34)$

56と23は互いに素なので、$x-14$ は23の倍数である必要があります。そこで、$x-14 = 23k$ (kは整数)とおくと、$x = 23k + 14$ となります。

これを $56(x-14) = 23(y-34)$ に代入すると、

$56(23k) = 23(y-34)$

$56k = y-34$

$y = 56k + 34$

したがって、整数解は $x = 23k + 14$, $y = 56k + 34$ (kは整数)となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 8k + 1$, $y = -11k - 1$ (kは整数)

(2) $x = 23k + 14$, $y = 56k + 34$ (kは整数)