$n$ は自然数とする。$n+1$ は 6 の倍数であり、$n+4$ は 9 の倍数であるとき、$n+13$ は 18 の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

$n$ は自然数とする。$n+1$ は 6 の倍数であり、$n+4$ は 9 の倍数であるとき、$n+13$ は 18 の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

$n+1$ が 6 の倍数であることから、$n+1 = 6k$ ($k$ は整数) と表せる。

よって、$n = 6k - 1$ となる。

$n+4$ が 9 の倍数であることから、$n+4 = 9l$ ($l$ は整数) と表せる。

$n = 6k - 1$ を $n+4 = 9l$ に代入すると、

$6k - 1 + 4 = 9l$

$6k + 3 = 9l$

$2k + 1 = 3l$

$2k = 3l - 1$

$3l - 1$ は偶数であるから、$3l$ は奇数である。

よって、$l$ は奇数なので、$l = 2m+1$ ($m$ は整数) と表せる。

これを $n+4 = 9l$ に代入すると、

$n+4 = 9(2m+1)$

$n+4 = 18m + 9$

$n = 18m + 5$

したがって、

$n+13 = (18m + 5) + 13$

$n+13 = 18m + 18$

$n+13 = 18(m+1)$

$m+1$ は整数なので、$n+13$ は 18 の倍数である。

3. 最終的な答え

したがって、$n+13$ は 18 の倍数である。