$m$, $n$, $k$ は自然数とする。命題「積 $mnk$ は偶数ならば、$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数である」が真であることを証明する。

1. 問題の内容

$m$, $n$, $k$ は自然数とする。命題「積 $mnk$ は偶数ならば、$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数である」が真であることを証明する。

2. 解き方の手順

この命題の対偶を証明する。対偶は「$m$, $n$, $k$ がすべて奇数ならば、積 $mnk$ は奇数である」となる。

$m$, $n$, $k$ がすべて奇数であると仮定する。このとき、$m = 2a + 1$, $n = 2b + 1$, $k = 2c + 1$ となる整数 $a$, $b$, $c$ が存在する。

積 $mnk$ を計算すると、

$mnk = (2a + 1)(2b + 1)(2c + 1)$

$= (4ab + 2a + 2b + 1)(2c + 1)$

$= 8abc + 4ab + 4ac + 2a + 4bc + 2b + 2c + 1$

$= 2(4abc + 2ab + 2ac + a + 2bc + b + c) + 1$

ここで、$4abc + 2ab + 2ac + a + 2bc + b + c$ は整数なので、$mnk$ は奇数である。

したがって、$m$, $n$, $k$ がすべて奇数ならば、$mnk$ は奇数である。これは元の命題の対偶なので、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

$m$, $n$, $k$ が自然数のとき、積 $mnk$ が偶数ならば、$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数である。