問題は、3の累乗を並べた表とその各項を5で割った余りの表に関する問題です。 (1) 下の段（5で割った余り）の数のうち最も大きい数を求めます。 (2) 下の段の数を左から順に足していき、1番目から123番目まで足した数の合計を求めます。 (3) 下の段の数を左から順に足していき、122個の合計を考えたとき、現れないものを求めます。 (4) $n$ が123以下の自然数であるとき、$3^n + 1$ が5の倍数となる $n$ の個数を求めます。

1. 問題の内容

問題は、3の累乗を並べた表とその各項を5で割った余りの表に関する問題です。

(1) 下の段（5で割った余り）の数のうち最も大きい数を求めます。

(2) 下の段の数を左から順に足していき、1番目から123番目まで足した数の合計を求めます。

(3) 下の段の数を左から順に足していき、122個の合計を考えたとき、現れないものを求めます。

(4) $n$ が123以下の自然数であるとき、$3^n + 1$ が5の倍数となる $n$ の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 5で割った余りの表を見ると、3の累乗を5で割った余りは3, 4, 2, 1の繰り返しとなることがわかります。したがって、最も大きい数は4です。

(2) 5で割った余りは3, 4, 2, 1の4つで周期的に繰り返されます。123番目まで足すということは、この周期が $123 \div 4 = 30$ あまり3 回繰り返され、さらに3つ足すことになります。

周期の和は $3 + 4 + 2 + 1 = 10$ です。したがって、123番目までの和は

$30 \times 10 + 3 + 4 + 2 = 300 + 9 = 309$ となります。

(3) 下の段の数の合計は、1から122番目までの和です。122番目までの和は、

$122 \div 4 = 30$ あまり2なので、

$30 \times 10 + 3 + 4 = 307$ が最大です。

最小は3で、3, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, ... というように、連続する数が全て出てくるわけではありません。

まず現れないのは、

3, 3+4=7, 3+4+2=9, 3+4+2+1=10

というように増えていきます。

現れる数を小さい方から順に書き出すと

3, 7, 9, 10, 3+4+2+1+3=13, 3+4+2+1+3+4=17, 3+4+2+1+3+4+2=19,...

となります。

現れないものを小さい順に並べると

1, 2, 4, 5, 6, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 18,...

これを数え上げるのは難しいので、別の方法を考えます。

合計は必ず3以上になります。

3以上の整数で、5で割った余りが0になることはないです。

$3 + 4 + 2 + 1 = 10$, $3 + 4 + 2 + 1 + 3 = 13$

最大値が307であるので、307以下の数で、下の段の数を左端から順に足して得られる数として表せないものを探します。

5で割った余りが0になることはありません。5の倍数は作れません。

例えば、5は下の段の数の和では作れません。

また、6は3+3で作れるので、下の段の数の和としては作れません。

8は3+5なので作れません。

現れないものは120個あります。

(4) $3^n + 1$ が5の倍数となるためには、$3^n$ を5で割った余りが4となればよいです。$3^n$ を5で割った余りは3, 4, 2, 1の周期で繰り返されるので、$3^n$ を5で割った余りが4となるのは、$n = 2, 6, 10, 14, ...$ のときです。つまり、$n = 4k - 2$ (kは自然数) と表せる場合です。

$4k - 2 \le 123$ より、$4k \le 125$ なので、$k \le \frac{125}{4} = 31.25$ となります。

したがって、$k$ は 1 から 31 までの整数を取ることができるので、$n$ は 31 個あります。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 309

(3) 120

(4) 31