$n$ は正の整数とする。$n$, 175, 250 の最大公約数が 25, 最小公倍数が 3500 であるような $n$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$n$ は正の整数とする。$n$, 175, 250 の最大公約数が 25, 最小公倍数が 3500 であるような $n$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数 175 と 250 を素因数分解します。

$175 = 5^2 \times 7$

$250 = 2 \times 5^3$

$n$ の最大公約数が 25 であることから、$n = 5^2 \times k = 25k$ (ただし、$k$ は整数で、2, 5, 7を素因数として含まないか、2, 7のみを素因数として含む) と表せます。

$n, 175, 250$ の最小公倍数が 3500 であることから、3500 を素因数分解します。

$3500 = 2^2 \times 5^3 \times 7$

$n = 25k = 5^2 k$ なので、$n, 175 = 5^2 \times 7, 250 = 2 \times 5^3$ の最小公倍数が $2^2 \times 5^3 \times 7$ になるためには、$n$ は $2^2$ と $7$ を素因数として含むか、$2^2$ のみ含むか、$7$のみ含むか、または含まないかのいずれかになります。$5^3$は250に含まれているため、$n$に$5^3$が含まれる必要はありません。しかし、最大公約数が25であるため、$5^2$は必ず含む必要があります。

したがって、$n = 25k = 5^2 \times k$ の $k$ は、$k = 2^2 \times 7 = 28$, $k=2^2=4$, $k=7$または$k=1$となります。

もし $k = 1$であると$n = 25$ となります。$n = 25, 175, 250$ の最大公約数は 25, 最小公倍数は $2^1 \times 5^3 \times 7 = 1750$となり、最小公倍数の条件を満たしません。

もし $k = 7$であると$n = 25 \times 7 = 175$ となります。$n = 175, 175, 250$ の最大公約数は 25, 最小公倍数は $2^1 \times 5^3 \times 7 = 1750$となり、最小公倍数の条件を満たしません。

もし $k = 4$であると$n = 25 \times 4 = 100$ となります。$n = 100, 175, 250$ の最大公約数は 25, 最小公倍数は $2^2 \times 5^2 \times 7 = 1400$となり、最小公倍数の条件を満たしません。

もし $k = 28$であると$n = 25 \times 28 = 700$ となります。$n = 700, 175, 250$ の最大公約数は 25, 最小公倍数は $2^2 \times 5^3 \times 7 = 3500$となり、条件を満たします。

よって、求める $n$ は 700 です。

3. 最終的な答え

$n = 700$