$n$ は自然数とする。$n+1$ は $6$ の倍数であり、$n+4$ は $9$ の倍数であるとき、$n+13$ は $18$ の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

$n$ は自然数とする。$n+1$ は $6$ の倍数であり、$n+4$ は $9$ の倍数であるとき、$n+13$ は $18$ の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$n+1$ が $6$ の倍数であることから、ある整数 $k$ を用いて

$n+1 = 6k$

と表せる。したがって、

$n = 6k - 1$

次に、$n+4$ が $9$ の倍数であることから、ある整数 $l$ を用いて

$n+4 = 9l$

と表せる。したがって、

$n = 9l - 4$

これら2つの式から、

$6k - 1 = 9l - 4$

これを変形すると、

$6k = 9l - 3$

$2k = 3l - 1$

$2k \equiv -1 \pmod{3}$

$2k \equiv 2 \pmod{3}$

$k \equiv 1 \pmod{3}$

したがって、$k = 3m+1$ と表せる（$m$は整数）。

これを $n = 6k - 1$ に代入すると、

$n = 6(3m+1) - 1$

$n = 18m + 6 - 1$

$n = 18m + 5$

したがって、

$n+13 = 18m + 5 + 13$

$n+13 = 18m + 18$

$n+13 = 18(m+1)$

$m+1$ は整数であるから、$n+13$ は $18$ の倍数である。

3. 最終的な答え

したがって、$n+13$ は $18$ の倍数である。