$\sqrt{3}$が無理数であることを用いて、以下の数が無理数であることを背理法で証明せよ。 (1) $1 + \sqrt{3}$ (2) $\sqrt{12}$ (3) $\frac{2}{\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$が無理数であることを用いて、以下の数が無理数であることを背理法で証明せよ。

(1) $1 + \sqrt{3}$

(2) $\sqrt{12}$

(3) $\frac{2}{\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $1 + \sqrt{3}$ について

$1 + \sqrt{3}$ が有理数であると仮定する。

このとき、$1 + \sqrt{3} = r$ （$r$は有理数）と書ける。

したがって、$\sqrt{3} = r - 1$ となる。

$r$ が有理数なので、$r-1$ も有理数である。

これは、$\sqrt{3}$ が無理数であることに矛盾する。

よって、$1 + \sqrt{3}$ は無理数である。

(2) $\sqrt{12}$ について

$\sqrt{12}$ が有理数であると仮定する。

このとき、$\sqrt{12} = r$ （$r$は有理数）と書ける。

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ であるから、$2\sqrt{3} = r$ となる。

したがって、$\sqrt{3} = \frac{r}{2}$ となる。

$r$ が有理数なので、$\frac{r}{2}$ も有理数である。

これは、$\sqrt{3}$ が無理数であることに矛盾する。

よって、$\sqrt{12}$ は無理数である。

(3) $\frac{2}{\sqrt{3}}$ について

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ が有理数であると仮定する。

このとき、$\frac{2}{\sqrt{3}} = r$ （$r$は有理数）と書ける。

したがって、$\sqrt{3} = \frac{2}{r}$ となる。

$r$ が有理数なので、$\frac{2}{r}$ も有理数である。

これは、$\sqrt{3}$ が無理数であることに矛盾する。

よって、$\frac{2}{\sqrt{3}}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

(1) $1 + \sqrt{3}$ は無理数である。

(2) $\sqrt{12}$ は無理数である。

(3) $\frac{2}{\sqrt{3}}$ は無理数である。