1. 問題の内容
20の倍数であり、正の約数の個数が15個である自然数 を全て求める問題です。
2. 解き方の手順
まず、 が20の倍数であることから、 ( は自然数)と表せます。
次に、 の約数の個数が15個であるという条件を使います。約数の個数は、素因数分解したときの各素数の指数のそれぞれに1を足したものを掛け合わせたものです。 なので、 の素因数分解は次のいずれかの形になります。
(i) ( は素数)
(ii) (, は異なる素数)
(iii) (, は異なる素数)
(iv) (, , は異なる素数)
であることを考慮して、上の各場合について考えます。
(i) の場合、 は と 5 を因数に持つ必要があるので、これはありえません。
(ii) の場合、と5を含むので、 または である必要がありますが、 これは20の倍数であり、約数の個数は 個なので、条件を満たします。 これは20の倍数であり、約数の個数は 個なので条件を満たします。
, , ,
の場合は、以外は成り立たないので検討の必要はありません。
の場合、以外は成り立たないので検討の必要はありません。
(iii) の場合も、(ii) と同様に考えられます。と5を含むので、 またはです。これらはすでに確認済みです。
(iv) (, , は異なる素数)の場合、 を含むので、 か のどちらかが成り立ちます。 は確定しているので または
で、約数の個数は 個となるので条件を満たしません。
の場合、約数の個数は 15にならないため、条件を満たしません。
よって、候補は のみです。
3. 最終的な答え
400, 2500