20の倍数であり、正の約数の個数が15個である自然数 $n$ を全て求める問題です。

数論約数素因数分解倍数
2025/7/26

1. 問題の内容

20の倍数であり、正の約数の個数が15個である自然数 nn を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、nn が20の倍数であることから、n=20k=225kn = 20k = 2^2 \cdot 5 \cdot kkk は自然数)と表せます。
次に、nn の約数の個数が15個であるという条件を使います。約数の個数は、素因数分解したときの各素数の指数のそれぞれに1を足したものを掛け合わせたものです。15=3515 = 3 \cdot 5 なので、nn の素因数分解は次のいずれかの形になります。
(i) n=p14n = p^{14} (pp は素数)
(ii) n=p4q2n = p^4 q^2 (pp, qq は異なる素数)
(iii) n=p2q4n = p^2 q^4 (pp, qq は異なる素数)
(iv) n=p2q2rn = p^2 q^2 r (pp, qq, rr は異なる素数)
n=225kn = 2^2 \cdot 5 \cdot k であることを考慮して、上の各場合について考えます。
(i) n=p14n = p^{14} の場合、nn222^2 と 5 を因数に持つ必要があるので、これはありえません。
(ii) n=p4q2n = p^4 q^2 の場合、222^2と5を含むので、n=2452n=2^4 5^2 または n=2254n=2^2 5^4である必要がありますが、n=2452=400n=2^4 5^2 = 400 これは20の倍数であり、約数の個数は (4+1)(2+1)=53=15(4+1)(2+1) = 5*3=15個なので、条件を満たします。n=2254=2500n=2^2 5^4 = 2500 これは20の倍数であり、約数の個数は (2+1)(4+1)=35=15(2+1)(4+1)=3*5=15個なので条件を満たします。
p=2,q5p=2,q \ne 5, p=5,q2p=5,q\ne 2, p2,q=5p\ne 2,q=5, p5,q=2p \ne 5,q =2
n=24q2n = 2^4 \cdot q^2の場合は、q=5q=5以外は成り立たないので検討の必要はありません。
n=54q2n = 5^4 \cdot q^2の場合、q=2q=2以外は成り立たないので検討の必要はありません。
(iii) n=p2q4n = p^2 q^4 の場合も、(ii) と同様に考えられます。222^2と5を含むので、n=2254=2500n=2^2 5^4 = 2500 またはn=2452=400n=2^4 5^2=400です。これらはすでに確認済みです。
(iv) n=p2q2rn = p^2 q^2 r (pp, qq, rr は異なる素数)の場合、222^2 を含むので、p=2p=2q=2q=2 のどちらかが成り立ちます。2252^2 \cdot 5 は確定しているのでn=2252rn = 2^2 \cdot 5^2 r または n=22q25n = 2^2 \cdot q^2 \cdot 5
n=2252r=100rn = 2^2 \cdot 5^2 \cdot r = 100r で、約数の個数は (2+1)(2+1)(1+1)=332=18(2+1)(2+1)(1+1) = 3*3*2 = 18個となるので条件を満たしません。
n=22q25n=2^2 \cdot q^2 \cdot 5の場合、約数の個数は 15にならないため、条件を満たしません。
よって、候補は n=400,2500n = 400, 2500のみです。

3. 最終的な答え

400, 2500

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