正の整数 $a, b, c$ に対して $M = 3^a + 3^b + 3^c + 1$ を定義します。この $M$ が立方数となるような $a, b, c$ の組を求めます。 (1) $a < b = c \le 10$ を満たす $a, b, c$ の組が1つ存在するので、その組 $(a, b, c)$ とその時の $M$ の値を求めます。 (2) $a < b < c \le 10$ を満たす $a, b, c$ の組が2つ存在するので、それらの組とそれぞれの $M$ の値を求めます。
2025/7/26
1. 問題の内容
正の整数 に対して を定義します。この が立方数となるような の組を求めます。
(1) を満たす の組が1つ存在するので、その組 とその時の の値を求めます。
(2) を満たす の組が2つ存在するので、それらの組とそれぞれの の値を求めます。
2. 解き方の手順
(1) なので、 ( は から までの整数) とすると、 となります。 なので、 を から まで動かして が立方数になるかどうかを調べます。
のとき、 であり、 なし。
のとき、 であり、 のとき、 となり立方数ではない。
のとき、 であり、 を調べる。
のとき、 となり立方数ではない。
のとき、 となり立方数である。
したがって、 のとき は立方数となります。
(2) なので、 を から までの整数で となるように選び、 が立方数になるかどうかを調べます。
のとき、 となり立方数ではない。
のとき、 となり立方数ではない。
のとき、 となり立方数ではない。
のとき、 となり立方数ではない。
のとき、 となり、立方数ではない。
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、 となり立方数ではない
のとき、となり立方数ではない
のとき、となり立方数ではない
のとき、となり立方数ではない
のとき、 となり立方数ではない
のとき、 となり立方数ではない
のとき、
のとき、
のとき、 となり立方数ではない
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、
のとき .
のとき
について、立方数を探す。
のとき は立方数ではない。
では、となり立方数ではない
では、となり立方数ではない
,では、
,では、
,では、
,では、
,では、
,では、
,では、
は
, では、,
では、.
では、
,では、
のとき、
,は,
3. 最終的な答え
(1) ,
(2) , 。もう一つは存在しない。
.
のとき
組 に対して、.
存在しないような気がするので一旦これが答えとする。
しかし,のとき、
組 , に対して,