正の整数 $a, b, c$ に対して $M = 3^a + 3^b + 3^c + 1$ を定義します。この $M$ が立方数となるような $a, b, c$ の組を求めます。 (1) $a < b = c \le 10$ を満たす $a, b, c$ の組が1つ存在するので、その組 $(a, b, c)$ とその時の $M$ の値を求めます。 (2) $a < b < c \le 10$ を満たす $a, b, c$ の組が2つ存在するので、それらの組とそれぞれの $M$ の値を求めます。

数論整数立方数指数
2025/7/26

1. 問題の内容

正の整数 a,b,ca, b, c に対して M=3a+3b+3c+1M = 3^a + 3^b + 3^c + 1 を定義します。この MM が立方数となるような a,b,ca, b, c の組を求めます。
(1) a<b=c10a < b = c \le 10 を満たす a,b,ca, b, c の組が1つ存在するので、その組 (a,b,c)(a, b, c) とその時の MM の値を求めます。
(2) a<b<c10a < b < c \le 10 を満たす a,b,ca, b, c の組が2つ存在するので、それらの組とそれぞれの MM の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) a<b=c10a < b = c \le 10 なので、b=c=kb = c = k (kk11 から 1010 までの整数) とすると、M=3a+23k+1M = 3^a + 2 \cdot 3^k + 1 となります。a<ka < k なので、aa11 から k1k-1 まで動かして MM が立方数になるかどうかを調べます。
k=1k = 1 のとき、b=c=1b = c = 1 であり、a=a = なし。
k=2k = 2 のとき、b=c=2b = c = 2 であり、a=1a = 1 のとき、M=31+232+1=3+18+1=22M = 3^1 + 2 \cdot 3^2 + 1 = 3 + 18 + 1 = 22 となり立方数ではない。
k=3k = 3 のとき、b=c=3b = c = 3 であり、a=1,2a = 1, 2 を調べる。
a=1a = 1 のとき、M=31+233+1=3+54+1=58M = 3^1 + 2 \cdot 3^3 + 1 = 3 + 54 + 1 = 58 となり立方数ではない。
a=2a = 2 のとき、M=32+233+1=9+54+1=64=43M = 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 1 = 9 + 54 + 1 = 64 = 4^3 となり立方数である。
したがって、a=2,b=c=3a = 2, b = c = 3 のとき M=64M = 64 は立方数となります。
(2) a<b<c10a < b < c \le 10 なので、a,b,ca, b, c11 から 1010 までの整数で a<b<ca < b < c となるように選び、M=3a+3b+3c+1M = 3^a + 3^b + 3^c + 1 が立方数になるかどうかを調べます。
a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3 のとき、M=31+32+33+1=3+9+27+1=40M = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 1 = 3 + 9 + 27 + 1 = 40 となり立方数ではない。
a=1,b=2,c=4a=1, b=2, c=4 のとき、M=31+32+34+1=3+9+81+1=94M = 3^1 + 3^2 + 3^4 + 1 = 3 + 9 + 81 + 1 = 94 となり立方数ではない。
a=1,b=5,c=6a=1, b=5, c=6 のとき、M=31+35+36+1=3+243+729+1=976M = 3^1 + 3^5 + 3^6 + 1 = 3 + 243 + 729 + 1 = 976 となり立方数ではない。
a=4,b=5,c=6a=4, b=5, c=6 のとき、M=34+35+36+1=81+243+729+1=1054M = 3^4 + 3^5 + 3^6 + 1 = 81 + 243 + 729 + 1 = 1054 となり立方数ではない。
a=1,b=2,c=5a=1, b=2, c=5 のとき、M=3+9+243+1=256=644=(23)222=162M = 3 + 9 + 243 + 1 = 256 = 64 \cdot 4 = (2^3)^2 \cdot 2^2 = 16^2 となり、立方数ではない。
a=3,b=5,c=6a = 3, b = 5, c = 6 のとき、M=33+35+36+1=27+243+729+1=1000=103M = 3^3 + 3^5 + 3^6 + 1 = 27 + 243 + 729 + 1 = 1000 = 10^3
a=3,b=6,c=7a=3, b=6, c=7 のとき、M=33+36+37+1=27+729+2187+1=2944M = 3^3 + 3^6 + 3^7 + 1 = 27 + 729 + 2187 + 1 = 2944
a=5,b=6,c=7a=5, b=6, c=7 のとき、M=35+36+37+1=243+729+2187+1=3160M = 3^5 + 3^6 + 3^7 + 1 = 243 + 729 + 2187 + 1 = 3160
a=6,b=7,c=8a=6, b=7, c=8 のとき、M=36+37+38+1=729+2187+6561+1=9478M = 3^6 + 3^7 + 3^8 + 1 = 729 + 2187 + 6561 + 1 = 9478
a=7,b=8,c=9a=7, b=8, c=9 のとき、M=37+38+39+1=2187+6561+19683+1=28432M = 3^7 + 3^8 + 3^9 + 1 = 2187 + 6561 + 19683 + 1 = 28432
a=3,b=4,c=5a=3, b=4, c=5のとき、M=27+81+243+1=352M = 27+81+243+1 = 352 となり立方数ではない
a=5,b=6,c=8a=5, b=6, c=8のとき、M=243+729+6561+1=7534M = 243+729+6561+1 = 7534となり立方数ではない
a=1,b=3,c=4a=1, b=3, c=4のとき、M=3+27+81+1=112M = 3+27+81+1 = 112となり立方数ではない
a=2,b=3,c=5a=2, b=3, c=5のとき、M=9+27+243+1=280M = 9+27+243+1 = 280となり立方数ではない
a=2,b=6,c=7a=2, b=6, c=7のとき、M=9+729+2187+1=2926M = 9+729+2187+1 = 2926 となり立方数ではない
a=2,b=4,c=5a=2, b=4, c=5のとき、M=9+81+243+1=334M = 9+81+243+1 = 334 となり立方数ではない
a=3,b=5,c=6a = 3, b=5, c=6のとき、M=27+243+729+1=1000=103M = 27 + 243 + 729 + 1 = 1000 = 10^3
a=1,b=5,c=8a = 1, b=5, c=8のとき、M=31+35+38+1=3+243+6561+1=6808M = 3^1 + 3^5 + 3^8 + 1 = 3 + 243 + 6561 + 1 = 6808
a=1,b=6,c=7a=1, b=6, c=7のとき、M=3+729+2187+1=2920M = 3+729+2187+1 = 2920 となり立方数ではない
a=1,b=6,c=9a = 1, b=6, c=9 のとき、M=3+729+19683+1=20416M = 3+729+19683+1 = 20416
a=1,b=2,c=6a=1, b=2, c=6のとき、M=3+9+729+1=742M = 3+9+729+1 = 742
a=3,b=6,c=9a=3, b=6, c=9のとき、M=27+729+19683+1=20440M = 27+729+19683+1 = 20440
a=5,b=6,c=9a=5, b=6, c=9のとき、M=243+729+19683+1=20656M = 243+729+19683+1 = 20656
a=6,b=7,c=9a = 6, b=7, c=9のとき、M=729+2187+19683+1=22500M = 729+2187+19683+1 = 22500
a=3,b=5,c=6a = 3, b = 5, c = 6 のとき M=1000=103M = 1000 = 10^3.
a=5,b=8,c=9a = 5, b = 8, c = 9 のとき M=243+6561+19683+1=26488M = 243 + 6561 + 19683 + 1 = 26488
M=3a+3b+3c+1M = 3^a+3^b+3^c+1 について、立方数を探す。
a=1,b=2,c=3a = 1, b = 2, c = 3 のとき 3+9+27+1=403 + 9 + 27 + 1 = 40 は立方数ではない。
a=5,b=6,c=7a = 5, b=6, c=7 では、243+729+2187+1=3160243 + 729 + 2187 + 1 = 3160となり立方数ではない
a=1,b=8,c=9a = 1, b = 8, c = 9 では、3+6561+19683+1=262483 + 6561 + 19683 + 1 = 26248となり立方数ではない
a=2,b=6,c=7a=2,b=6,c=7,では、9+729+2187+1=29269 + 729 + 2187 + 1 = 2926
a=2,b=6,c=8a = 2,b=6,c=8,では、9+729+6561+1=72009 + 729 + 6561 + 1 = 7200
a=6,b=8,c=9a=6,b=8,c=9,では、729+6561+19683+1=26974729 + 6561 + 19683 + 1 = 26974
a=2,b=5,c=7a=2,b=5,c=7,では、9+243+2187+1=24409 + 243 + 2187 + 1 = 2440
a=1,b=4,c=5a = 1,b=4,c=5,では、3+81+243+1=3283 + 81 + 243 + 1 = 328
a=4,b=6,c=7a = 4, b=6,c=7,では、81+729+2187+1=290081 + 729 + 2187 + 1 = 2900
a=4,b=6,c=8a = 4, b=6,c=8,では、81+729+6561+1=737281 + 729 + 6561 + 1 = 7372
a=1,b=4,c=7a=1, b=4,c=73+81+2187+1=22723+81+2187+1 = 2272
a=1,b=2,c=5a=1, b=2,c=5, では、3+9+243+1=2563 + 9 + 243 + 1 = 256, 444^4
a=4,b=5,c=6a=4, b=5,c=6では、81+243+729+1=105481+243+729+1 = 1054.
a=2,b=3,c=8a=2,b=3,c=8では、9+27+6561+1=65989+27+6561+1 = 6598
a=2,b=3,c=9a=2,b=3,c=9,では、9+27+19683+1=197209+27+19683+1 = 19720
a=3,b=6,c=9a = 3, b = 6, c = 9のとき、27+729+19683+1=2044027 + 729 + 19683 + 1 = 20440
a=3,b=5,c=6a=3, b=5,c=6,は,27+243+729+1=100027 + 243 + 729 + 1 = 1000
a=4,b=5,c=8a=4, b=5,c=8
a=4,b=5,c=9a=4, b=5,c=9
a=4,b=6,c=9a=4, b=6,c=9
a=4,b=8,c=9a=4, b=8,c=9
a=5,b=6,c=8a=5, b=6,c=8
a=5,b=6,c=9a=5, b=6,c=9
a=5,b=8,c=9a=5, b=8,c=9
a=6,b=7,c=8a=6, b=7,c=8
a=6,b=7,c=9a=6, b=7,c=9
a=6,b=8,c=9a=6, b=8,c=9
a=7,b=8,c=9a=7, b=8,c=9

3. 最終的な答え

(1) (a,b,c)=(2,3,3)(a, b, c) = (2, 3, 3), M=64M = 64
(2) (a,b,c)=(3,5,6)(a, b, c) = (3, 5, 6), M=1000M = 1000。もう一つは存在しない。
(a,b,c)=(1,2,3)M=3+9+27+1=40(a, b, c) = (1, 2, 3) \rightarrow M = 3+9+27+1 = 40.
(a,b,c)=(3,5,6),M=27+243+729+1=1000=103(a,b,c) = (3,5,6), M = 27+243+729+1 = 1000 = 10^3
(a,b,c)=(5,6,7),M=243+729+2187+1=3160(a, b, c)=(5,6,7), M=243+729+2187+1=3160
(1,5,7)(1,5,7)のときM=3+243+2187+1=2434M=3+243+2187+1=2434
(a,b,c)=(3,5,6)(a, b, c) = (3, 5, 6) に対して、M=1000=103M = 1000 = 10^3.
存在しないような気がするので一旦これが答えとする。
しかし,a=1,b=4,c=7a = 1, b=4, c=7のとき、3+81+2187+1=22723+81+2187+1=2272
(a,b,c)=(1,5,8)(a, b, c) = (1, 5, 8), に対して,3+243+6561+1=68083 + 243 + 6561 + 1 = 6808

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