整数 $n$ について、「$n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」という命題を、対偶を用いて証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、「$n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」という命題を、対偶を用いて証明する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題の対偶を作る。

元の命題： $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。

対偶： $n$ が奇数ならば、$n^3 + 1$ は偶数である。

この対偶が真であることを証明する。

$n$ が奇数であると仮定する。このとき、$n = 2k + 1$ ( $k$ は整数) と表せる。

$n^3 + 1$ を計算する。

$n^3 + 1 = (2k + 1)^3 + 1$

$= (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) + 1$

$= 8k^3 + 12k^2 + 6k + 2$

$= 2(4k^3 + 6k^2 + 3k + 1)$

$4k^3 + 6k^2 + 3k + 1$ は整数なので、$n^3 + 1$ は 2 の倍数であり、偶数である。

したがって、$n$ が奇数ならば、$n^3 + 1$ は偶数である。

これは対偶が真であることを示している。

対偶が真であるとき、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

したがって、「$n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」は真である。