自然数 $n$ は20の倍数であり、正の約数の個数が15個である。このような自然数 $n$ をすべて求める。

1. 問題の内容

自然数 $n$ は20の倍数であり、正の約数の個数が15個である。このような自然数 $n$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、$n$ が20の倍数であることから、$n = 20k = 2^2 \cdot 5 \cdot k$ ($k$ は自然数) と表せる。

次に、$n$ の約数の個数が15である条件を考える。約数の個数は、素因数分解したときの各素数の指数の組み合わせで決まる。15 = 3 x 5 = 15 x 1 であるから、$n$ の素因数分解は $p^{14}$ または $p^2q^4$ または $p^4q^2$の形である必要がある（ただし、$p, q$は異なる素数）。

$n = 2^2 \cdot 5 \cdot k$ であることから、$n$ の素因数分解の形を考える。

$n$ が $p^{14}$ の形であることはありえない。なぜなら、 $n$は20の倍数であり、少なくとも素因数2と5を持つ必要があるため。

したがって、$n$は $p^2q^4$または $p^4q^2$の形である必要がある。

ケース1：$n = 2^a \cdot 5^b \cdot ...$（...は他の素数）

約数の個数 $=(a+1)(b+1)... = 15$

$n$ は20の倍数なので、$a \ge 2$ かつ $b \ge 1$。

(i) $n = 2^4 \cdot 5^2 = 16 \cdot 25 = 400$. これは20の倍数である。

(ii) $n = 2^2 \cdot 5^4 = 4 \cdot 625 = 2500$. これは20の倍数である。

(iii) $n = 2^{14}$. これは20の倍数でない。

(iv) $n = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$. これは20の倍数でない。

(v) $n = 2^2 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324$. これは20の倍数でない。

$15 = 3 \times 5$ の場合を考慮する。

$(a+1)(b+1) = 3 \times 5$.

$a+1=5, b+1=3 \Rightarrow a=4, b=2$.

$n = 2^4 \cdot 5^2 = 16 \cdot 25 = 400$.

$a+1=3, b+1=5 \Rightarrow a=2, b=4$.

$n = 2^2 \cdot 5^4 = 4 \cdot 625 = 2500$.

$n = 2^4 \cdot 5 \cdot p^2 \implies n \text{ divides } 400p^2$, where $p \ne 2, 5$. Number of divisors: $(5)(2)(3)=30$.

$n = 2^2 \cdot 5^4 \cdot p^0$, Number of divisors = $3 \times 5 =15$, where p is any prime number that is absent from n.

3. 最終的な答え

400, 2500