$m$, $n$, $k$ は自然数であるとき、命題「積 $mnk$ が偶数ならば、$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数である」が真であることを証明する。

1. 問題の内容

$m$, $n$, $k$ は自然数であるとき、命題「積 $mnk$ が偶数ならば、$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数である」が真であることを証明する。

2. 解き方の手順

この命題を証明するために、対偶を証明する。

元の命題：

$mnk$ が偶数 $\implies$ $m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数

対偶：

$m$, $n$, $k$ のいずれも偶数でない $\implies$ $mnk$ は偶数でない

$m$, $n$, $k$ のいずれも偶数でないということは、$m$, $n$, $k$ がすべて奇数であるということである。

$m$, $n$, $k$ がすべて奇数であるとき、$m = 2a + 1$, $n = 2b + 1$, $k = 2c + 1$ ($a, b, c$ は整数) と表せる。

このとき、$mnk = (2a + 1)(2b + 1)(2c + 1)$ を計算する。

$mn = (2a + 1)(2b + 1) = 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1$

これは奇数である。

次に、$mnk$ を計算する。

$mnk = (2(2ab + a + b) + 1)(2c + 1) = 4c(2ab + a + b) + 2(2ab + a + b) + 2c + 1$

$= 2(2c(2ab + a + b) + (2ab + a + b) + c) + 1$

これは奇数である。したがって、$mnk$ は偶数でない。

したがって、対偶「$m$, $n$, $k$ のいずれも偶数でない $\implies$ $mnk$ は偶数でない」が真である。

対偶が真であるとき、元の命題「積 $mnk$ が偶数ならば、$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数である」も真である。

3. 最終的な答え

積 $mnk$ が偶数ならば、$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数である。