数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 = 3$, $a_2 = 2$ で、 $n \ge 2$ のとき $a_{n+1} = a_n^2 + a_n - 1$ を満たします。また、$n \ge 2$ のとき、$a_{n+1} = a_1 a_2 \dots a_n + 1$ が成り立つことが与えられています。 以下の2つの条件を満たす自然数 $n$ を求めます。 (1) $\sum_{i=1}^n a_i^2 = a_1 a_2 \dots a_n + 10$ (2) $\sum_{i=1}^n a_i^2 = a_1 a_2 \dots a_n + 20$
2025/7/27
1. 問題の内容
数列 があり、, で、 のとき を満たします。また、 のとき、 が成り立つことが与えられています。
以下の2つの条件を満たす自然数 を求めます。
(1)
(2)
2. 解き方の手順
まず、 を計算します。。
次に、 が成り立つことを確認します。 なので、です。以下、を使用します。
(1) の条件 を検討します。
のとき、 であり、。よって 。
のとき、 であり、。よって 。
のとき、 であり、。よって 。
ここで、 を変形すると、。
これを に代入すると、。
のとき、。 より となり矛盾。
のとき、。 より となり矛盾。
のとき、。。 より となり矛盾。
(2) の条件 を検討します。
。
のとき、。 より となり矛盾。
のとき、。 より となり矛盾。
のとき、。。 より 。よって、 が条件を満たします。
3. 最終的な答え
(1) = 解なし
(2) = 3