数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 = 3$, $a_2 = 2$ で、 $n \ge 2$ のとき $a_{n+1} = a_n^2 + a_n - 1$ を満たします。また、$n \ge 2$ のとき、$a_{n+1} = a_1 a_2 \dots a_n + 1$ が成り立つことが与えられています。 以下の2つの条件を満たす自然数 $n$ を求めます。 (1) $\sum_{i=1}^n a_i^2 = a_1 a_2 \dots a_n + 10$ (2) $\sum_{i=1}^n a_i^2 = a_1 a_2 \dots a_n + 20$

数論数列漸化式数学的帰納法代数
2025/7/27

1. 問題の内容

数列 {an}\{a_n\} があり、a1=3a_1 = 3, a2=2a_2 = 2 で、 n2n \ge 2 のとき an+1=an2+an1a_{n+1} = a_n^2 + a_n - 1 を満たします。また、n2n \ge 2 のとき、an+1=a1a2an+1a_{n+1} = a_1 a_2 \dots a_n + 1 が成り立つことが与えられています。
以下の2つの条件を満たす自然数 nn を求めます。
(1) i=1nai2=a1a2an+10\sum_{i=1}^n a_i^2 = a_1 a_2 \dots a_n + 10
(2) i=1nai2=a1a2an+20\sum_{i=1}^n a_i^2 = a_1 a_2 \dots a_n + 20

2. 解き方の手順

まず、a3a_3 を計算します。a3=a22+a21=22+21=4+21=5a_3 = a_2^2 + a_2 - 1 = 2^2 + 2 - 1 = 4 + 2 - 1 = 5
次に、a3=a1a2+1a_3 = a_1a_2 + 1 が成り立つことを確認します。a1a2+1=32+1=7a_1 a_2 + 1 = 3 \cdot 2 + 1 = 7 なので、a3=7a_3=7です。以下、an+1=a1a2...an+1a_{n+1}= a_1 a_2 ... a_n + 1を使用します。
(1) の条件 i=1nai2=a1a2an+10\sum_{i=1}^n a_i^2 = a_1 a_2 \dots a_n + 10 を検討します。
n=1n=1 のとき、a12=32=9a_1^2 = 3^2 = 9 であり、a1+10=3+10=13a_1 + 10 = 3 + 10 = 13。よって 9139 \ne 13
n=2n=2 のとき、a12+a22=32+22=9+4=13a_1^2 + a_2^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13 であり、a1a2+10=32+10=6+10=16a_1 a_2 + 10 = 3 \cdot 2 + 10 = 6 + 10 = 16。よって 131613 \ne 16
n=3n=3 のとき、a12+a22+a32=32+22+72=9+4+49=62a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 3^2 + 2^2 + 7^2 = 9 + 4 + 49 = 62 であり、a1a2a3+10=327+10=42+10=52a_1 a_2 a_3 + 10 = 3 \cdot 2 \cdot 7 + 10 = 42 + 10 = 52。よって 625262 \ne 52
ここで、an+1=a1a2an+1a_{n+1} = a_1 a_2 \dots a_n + 1 を変形すると、a1a2an=an+11a_1 a_2 \dots a_n = a_{n+1} - 1
これを i=1nai2=a1a2an+10\sum_{i=1}^n a_i^2 = a_1 a_2 \dots a_n + 10 に代入すると、i=1nai2=an+11+10=an+1+9\sum_{i=1}^n a_i^2 = a_{n+1} - 1 + 10 = a_{n+1} + 9
n=1n=1のとき、a12=a2+9a_1^2 = a_2 + 932=2+93^2 = 2 + 9 より 9=119 = 11となり矛盾。
n=2n=2のとき、a12+a22=a3+9a_1^2 + a_2^2 = a_3 + 932+22=7+93^2 + 2^2 = 7 + 9 より 13=1613 = 16となり矛盾。
n=3n=3のとき、a12+a22+a32=a4+9a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = a_4 + 9a4=a1a2a3+1=327+1=43a_4 = a_1 a_2 a_3 + 1 = 3 \cdot 2 \cdot 7 + 1 = 4332+22+72=43+93^2 + 2^2 + 7^2 = 43 + 9 より 62=5262 = 52となり矛盾。
(2) の条件 i=1nai2=a1a2an+20\sum_{i=1}^n a_i^2 = a_1 a_2 \dots a_n + 20 を検討します。
i=1nai2=an+11+20=an+1+19\sum_{i=1}^n a_i^2 = a_{n+1} - 1 + 20 = a_{n+1} + 19
n=1n=1のとき、a12=a2+19a_1^2 = a_2 + 1932=2+193^2 = 2 + 19 より 9=219 = 21となり矛盾。
n=2n=2のとき、a12+a22=a3+19a_1^2 + a_2^2 = a_3 + 1932+22=7+193^2 + 2^2 = 7 + 19 より 13=2613 = 26となり矛盾。
n=3n=3のとき、a12+a22+a32=a4+19a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = a_4 + 19a4=43a_4 = 4332+22+72=43+193^2 + 2^2 + 7^2 = 43 + 19 より 62=6262 = 62。よって、n=3n=3 が条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) nn = 解なし
(2) nn = 3

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