整数 $n$ について、以下の3つの命題を証明する。 (1) $n^2 + 3n$ は偶数である。 (2) $n^3 + 3n^2 + 2n$ は6の倍数である。 (3) $n$ が奇数ならば、$n^3 - n$ は12の倍数である。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、以下の3つの命題を証明する。

(1) $n^2 + 3n$ は偶数である。

(2) $n^3 + 3n^2 + 2n$ は6の倍数である。

(3) $n$ が奇数ならば、$n^3 - n$ は12の倍数である。

2. 解き方の手順

(1) $n^2 + 3n$ が偶数であることの証明

$n^2 + 3n = n(n+3)$ と変形できる。

$n$ が偶数のとき、$n+3$ は奇数である。しかし、$n$ が偶数なので、$n(n+3)$ は偶数となる。

$n$ が奇数のとき、$n+3$ は偶数である。したがって、$n(n+3)$ は偶数となる。

いずれの場合も $n(n+3)$ は偶数となるので、$n^2 + 3n$ は偶数である。

(2) $n^3 + 3n^2 + 2n$ が6の倍数であることの証明

$n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) = n(n+1)(n+2)$ と変形できる。

$n, n+1, n+2$ は連続する3つの整数である。

したがって、$n(n+1)(n+2)$ は少なくとも1つの偶数と、3の倍数を含む。

よって、$n(n+1)(n+2)$ は $2 \times 3 = 6$ の倍数である。

ゆえに、$n^3 + 3n^2 + 2n$ は6の倍数である。

(3) $n$ が奇数ならば、$n^3 - n$ は12の倍数であることの証明

$n$ が奇数なので、$n = 2k+1$ (kは整数) と表せる。

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1) = (2k+1)(2k)(2k+2) = 4k(k+1)(2k+1)$ となる。

$k(k+1)$ は連続する2つの整数の積なので、必ず偶数である。

したがって、$k(k+1) = 2l$ （lは整数）と表せる。

$n^3 - n = 4(2l)(2k+1) = 8l(2k+1)$

ここで、$n^3-n=n(n-1)(n+1)$ であり、$n$が奇数なので、$n-1$と$n+1$は偶数である。

$n-1=2p$、$n+1=2p+2=2(p+1)$ (pは整数)と表せる。

$n^3-n = n(n-1)(n+1)=n(2p)(2p+2)=4np(p+1)$

$p$と$p+1$は連続する2整数なので、どちらか一方は偶数である。よって、$p(p+1)$は偶数。

$p(p+1)=2q$とおくと、$n^3-n=4n(2q)=8nq$となる。

しかしこれでは8の倍数にしかならない。

$n$ が奇数なので、$n = 2k+1$ とおく。

$n^3 - n = (2k+1)^3 - (2k+1) = (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) - (2k+1) = 8k^3 + 12k^2 + 4k = 4k(2k^2 + 3k + 1) = 4k(2k+1)(k+1)$

$k(k+1)$ は連続する2つの整数の積なので、偶数である。

したがって、$k(k+1) = 2m$ (mは整数) と表せる。

$n^3 - n = 4(2m)(2k+1) = 8m(2k+1)$

$2k+1$ は奇数なので、8の倍数にしかならない。

しかし、$n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ で、$n-1$ と $n+1$ は連続する偶数なので、どちらかは4の倍数である。

したがって、$(n-1)n(n+1)$ は 8の倍数に 3 も掛けられた数なので、24の倍数になる。

$n^3 - n = (n-1)n(n+1)$. $n$ は奇数より、$n = 2k+1$ とおける。

$n^3 - n = (2k)(2k+1)(2k+2) = 4k(k+1)(2k+1)$. $k(k+1)$ は常に偶数なので、$k(k+1) = 2m$ とおける。

$n^3 - n = 8m(2k+1) = 16km + 8m$.

ここで $k = 1$ とすると、$n^3 - n = 24$ となり、$k=2$とすると、$n^3 -n = 120$となる.

$n=3$ とすると、$n^3-n=27-3=24=12*2$

$n=5$ とすると、$n^3-n=125-5=120=12*10$

$n = 2k+1$ より、$n^3 - n = 4k(2k+1)(k+1)$ で、$n^3-n$ が 12 の倍数であるには、$4k(2k+1)(k+1) = 12l$ (l は整数) となればよい。

すなわち、$k(2k+1)(k+1) = 3l$ であればよい。これは、$k(2k+1)(k+1)$ が 3 の倍数であることを意味する。

$k, 2k+1, k+1$ のいずれかが 3 の倍数であればよい。

$k$ が 3 の倍数であれば良い。$k=3m$ とすると、$3m(6m+1)(3m+1)$ となり、3 の倍数である。

$k+1$ が 3 の倍数であれば良い。$k+1=3m$ とすると、$k=3m-1$ より、$(3m-1)(6m-1)(3m)$ となり、3 の倍数である。

$2k+1$ が 3 の倍数であれば良い。$2k+1=3m$ とすると、$2k=3m-1$ となり、$k=(3m-1)/2$ である。

$m$ が奇数であれば、$k$ は整数となる。$m=2p+1$ とすると、$k = (6p+3-1)/2 = (6p+2)/2 = 3p+1$ となる。

よって、 $n$ が奇数ならば、$n^3-n$ は 12 の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) $n^2 + 3n$ は偶数である。

(2) $n^3 + 3n^2 + 2n$ は6の倍数である。

(3) $n$ が奇数ならば、$n^3 - n$ は12の倍数である。