与えられた線形方程式 $25x - 61y = 12$ を解くことを求められています。ただし、整数解を求めることを想定します。

1. 問題の内容

与えられた線形方程式 $25x - 61y = 12$ を解くことを求められています。ただし、整数解を求めることを想定します。

2. 解き方の手順

ディオファントス方程式 $25x - 61y = 12$ を解きます。

まず、$25x - 61y = 1$ の特殊解を拡張ユークリッドの互除法で見つけます。

\begin{align*}

61 &= 2 \cdot 25 + 11 \\

25 &= 2 \cdot 11 + 3 \\

11 &= 3 \cdot 3 + 2 \\

3 &= 1 \cdot 2 + 1 \\

\end{align*}

次に、逆向きに計算します。

\begin{align*}

1 &= 3 - 1 \cdot 2 \\

&= 3 - 1 \cdot (11 - 3 \cdot 3) \\

&= 4 \cdot 3 - 1 \cdot 11 \\

&= 4 \cdot (25 - 2 \cdot 11) - 1 \cdot 11 \\

&= 4 \cdot 25 - 9 \cdot 11 \\

&= 4 \cdot 25 - 9 \cdot (61 - 2 \cdot 25) \\

&= 22 \cdot 25 - 9 \cdot 61

\end{align*}

したがって、$25(22) - 61(9) = 1$ です。

したがって、$25x - 61y = 12$ の一つの解は、$x = 22 \cdot 12 = 264$, $y = 9 \cdot 12 = 108$ です。つまり、$25(264) - 61(108) = 12$ です。

一般解を求めます。

$25x - 61y = 12$

$25(264) - 61(108) = 12$

引き算すると、

$25(x-264) - 61(y-108) = 0$

$25(x-264) = 61(y-108)$

$25$ と $61$ は互いに素なので、$x-264 = 61k$ かつ $y-108 = 25k$ ($k$ は整数)

$x = 264 + 61k$

$y = 108 + 25k$

3. 最終的な答え

$x = 264 + 61k$

$y = 108 + 25k$

（$k$ は任意の整数）