整数 $n$ に対して、「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」という命題を、対偶を用いて証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」という命題を、対偶を用いて証明する。

2. 解き方の手順

与えられた命題の対偶を考える。元の命題が真であれば、対偶も真である。

元の命題: 「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」

対偶: 「$n$ が奇数ならば、$n^2$ は奇数である」

対偶を証明する。

$n$ が奇数であるとき、$n$ は整数 $k$ を用いて、$n = 2k + 1$ と表せる。

このとき、$n^2$ は

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

と表せる。ここで、$2k^2 + 2k$ は整数であるから、$n^2$ は奇数である。

したがって、「$n$ が奇数ならば、$n^2$ は奇数である」という対偶が真であることが示された。

よって、元の命題「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」も真である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である。