整数 $n$ について、「$n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」という命題を、対偶を用いて証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、「$n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」という命題を、対偶を用いて証明する。

2. 解き方の手順

この命題の対偶は、「$n$ が奇数ならば、$n^3 + 1$ は偶数である」となる。

この対偶を証明する。

$n$ が奇数であると仮定する。

すると、$n$ は整数 $k$ を用いて $n = 2k + 1$ と表せる。

このとき、

$$n^3 + 1 = (2k + 1)^3 + 1 = (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 2 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k + 1)$$

$4k^3 + 6k^2 + 3k + 1$ は整数なので、$n^3 + 1$ は2の倍数、すなわち偶数である。

したがって、$n$ が奇数ならば、$n^3 + 1$ は偶数である。これは対偶が真であることを示している。

対偶が真であるとき、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

よって、「$n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」は証明された。