整数 $n$ に対して、「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」という命題を、対偶を用いて証明する問題です。

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」という命題を、対偶を用いて証明する問題です。

2. 解き方の手順

この命題の対偶は、「$n$ が奇数ならば、$n^2$ は奇数である」となります。この対偶を証明することで、元の命題が真であることが証明されます。

ステップ1: $n$ が奇数であると仮定します。

このとき、$n$ はある整数 $k$ を用いて、$n = 2k + 1$ と表すことができます。

ステップ2: $n^2$ を計算します。

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

ステップ3: $n^2$ が奇数であることを示します。

$2k^2 + 2k$ は整数なので、$n^2$ は $2 \times (\text{整数}) + 1$ の形になり、奇数であることがわかります。

ステップ4: 対偶が真であることを結論します。

$n$ が奇数ならば、$n^2$ は奇数であることが示されました。つまり、対偶は真です。

ステップ5: 元の命題が真であることを結論します。

対偶が真であることから、元の命題「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」も真であると言えます。

3. 最終的な答え

整数 $n$ に対して、$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である。