整数 $m, n$ について、命題「$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$mn$ は偶数である」を対偶を考えることによって証明する。

1. 問題の内容

整数 $m, n$ について、命題「$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$mn$ は偶数である」を対偶を考えることによって証明する。

2. 解き方の手順

この命題の対偶は「$mn$ が奇数ならば、$m^2 + n^2$ は偶数である」となる。

$mn$ が奇数であるとき、$m$ と $n$ はともに奇数である。

$m = 2k+1$ および $n = 2l+1$ （$k, l$ は整数）と表せる。

このとき、$m^2 + n^2$ は次のようになる。

$m^2 + n^2 = (2k+1)^2 + (2l+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 + 4l^2 + 4l + 1 = 4(k^2 + k + l^2 + l) + 2 = 2(2(k^2 + k + l^2 + l) + 1)$

これは偶数である。

したがって、対偶「$mn$ が奇数ならば、$m^2 + n^2$ は偶数である」は真である。

対偶が真であるとき、元の命題も真である。

よって、「$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$mn$ は偶数である」は真である。

3. 最終的な答え

$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$mn$ は偶数である。（証明終わり）